等比数列与等差数列在内容、研究思路和研究方法上有很强的可类比性。
都是通过运算发现实例中数列的共同取值规律、获得定义，根据定义归纳得到通项公式，通过与相应函数类比探索性质，通过运算、代数变换等思想方法推导前n项和公式（数列的特殊性质）、解决相关问题等
一、教材分析
教材截图
（考虑到研讨时部分教师未带有2019版课本，这里对教材截个图）
教材分析：
1.等比数列的前n项和公式的推导
本小节也用了一个有趣的故事情境来引人数列的求和问题,所不同的是,这个求国际象棋棋盘上所有麦粒总质量的情境只提供了一个求等比数列的问题背景,而没有提供算法.
等比数列的前n项和公式的推导有很多方法,教材采用的是“错位相减法”.与推导等差数列的前n项和公式的“倒序相加法”类似,“错位相减法”也是一种带有技巧性但很便捷的方法.但与“倒序相加法”不同的是,“错位相减法”源于对等比数列前n项的和式的观察和分析,利用了等比数列的定义,并没有利用等比数列的其他性质,因此教材直接让学生在的两边乘以q,得到,然后通过消去两式中的相同项,就得到了等比数列的前n项和公式.在教学中,学生可能会提出疑问:是怎样想到在的两边乘以q的?教师可以让学生独立思考，提出合理的解释.下面的思路提供了一种解释:
从等比数列的定义可知,.于是，在
的两边同乘q,有
显然,(2)式的第项分别与(1)式的第项相等.
2.对等比数列的前n项和公式的理解
由于等比数列的前n项和公式中,教师可以引导学生思考,当q=1时,等比数列的前n项和公式是怎样的.
与等差数列类似,等比数列还有一个求和公式,即
教学中可以让学生自己推出这个公式,并分析两个公式各适用于什么情况.
3.关于例7～例9
本小节的例题也分成了两部分，例7～例9是较为基本的应用等比数列的前n项和公式解决数学问题的题目,建议在教学中与等比数列的前n项和公式在同一课时完成.
例7与4.2节的例6类似，给出了等比数列的5个相关量中的3个,让学生选择等比数列的前n项和公式(1)或公式(2)求其他2个末知量.由于本例涉及的3个小题中的公比q都不等于1,所以不需要对q是否等于1分类讨论.而第2小题虽然需要求公比q,但限定了q<0,所以只能得到一个结果.
例8与4.2节的例7类似,给出了等比数列的两个相互独立的条件.但这两个条件都不包含公比q的信息,所以需要对q是否等于1分类讨论.
例9在原来等比数列的基础上,利用等比数列的前n项和,前2n项和与前3n项和构造了一个新的数列,让学生证明这个数列也是等比数列.事实上,这也是等比数列的一个性质.
由于条件中出现了等比数列的前n项和,所以本题与例8的解决过程类似,只要分公比q是否等于1两种情况，分别利用等比数列的前n项和公式即可证明，教材给出的正是这样的证明过程.考虑到新数列的特殊性,也可以不利用等比数列的前n项和公式,而是由数列的前n项和的定义,得,,这样就避免了对q的分类讨论.
教材“边空”中的问题就是让学生思考不用等比数列求和公式的证明方法.此外,题干中强调“公比”的原因是,当q=-1时,可以发现使结论不成立的反例,如通项公式为的数列。
联系客服
