构造圆求解平面向量模的最值和范围问题

李文东

(广东省中山市中山纪念中学 528454)

摘 要：文章借助平面向量的几何意义，构造圆求解平面向量模的最值和范围问题，这样既直观又简便.

关键词：平面向量；向量模；阿波罗尼斯圆

平面向量作为一种重要的数学工具，具有代数和几何的双重特性，这就导致求解平面向量问题方法的多样性和复杂性.在各地的高考和高三模拟试题中，经常出现平面向量模的最值和范围问题，这类问题若用代数方法求解，首先需要将向量问题转化为代数问题，然后综合运用函数和不等式的知识求解，往往比较复杂.我们也可以借助平面向量的几何意义，构造几何图形来求解，往往能起到避繁就简的效果，下面举例说明.

类型1 设

且|a|=r，则点A在以O为圆心，半径为r的圆上.

例1 (2017浙江15)向量a、b满足|a|=1,|b|=2，求|a+b|+|a-b|的取值范围.

解 记

则

由于|a|=1，故点A在以O为圆心半径为1的圆上，同时作出分别以|a|=1,|b|=2为短半轴和半焦距的椭圆，如图1，结合图形易知当A,B,B1共线时，|a+b|+|a-b|取得最小值4 ，当OA⊥OB 时，|a+b|+|a-b|取得最大值

故|a+b|+|a-b|的取值范围为

图1

点评 本题也可以采用如下代数方法求解：设a,b的夹角为θ，则

于是

类型2 记

若|a-b|=m，a,b的夹角为θ，则C在以AB为弦，半径为

的两段圆弧上.

例2 若非零向量a,b的夹角为60°，|a-b|=1，求|a+b|的取值范围.

解 设

由于|a-b|=1，a,b的夹角为60°.可知点C在以AB为弦，半径为

的两段优弧上，(不影响结果，这里只画出一段优弧)如图2所示，设AB的中点为M，由图不难得到，|a+b|=2CM∈(1,3].

图2

点评 本题也可以用如下的代数方法求解：将|a-b|=1平方得：a2-2a·b+b2=1，因为a,b的夹角为60°，故a2-|a|·|b|+b2=1，而|a+b|2=a2+|a|·|b|+b2.利用基本不等式有：a2+b2=1+|a|·|b|≥2|a|·|b|⟹|a|·|b|≤1，于是|a+b|2=a2+|a|·|b|+b2=1+2|a|·|b|≤3，另外a,b为非零向量，故1+2|a|·|b|>1，从而

类型3 设a为已知向量，满足|b-a|=r，记

则点B在以A为圆心，半径为r的圆上.

例3 向量a、b、c满足

则|c-b|的最大值为____.

解 记

由

知，点C在以M为圆心，半径为

的圆上，如图

易知，当B,M,C共线时，|c-b|取得最大值为

图3 图4

点评 本题利用模的三角不等式||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|求解：

很巧妙，关键在于配凑.

变式 已知

夹角为60°，且

若|a+e2|=|b-e1|=1，求|a-b|的最大值.

解 记

由|a+e2|=|b-e1|=1可知，点A,B分别在以P,Q为圆心，半径为1的圆上，如图4，而

根据图形易知，当A,P,Q,B四点共线时， |a-b|取得最大值为

类型4 设

为已知向量，若(c-a)·(c-b)=0，则点C在以AB为直径的圆上.

例4 设a、b为单位向量，且a·b=0，c满足(a-c)·(b-c)=0，则|c|的最大值为____.

解 记

由于a·b=0和(a-c)·(b-c)=0知OA⊥OB,CA⊥CB，如图5，可知O,A,C,B 四点共圆.显然，当OC为直径时，|c|的最大值为

图5 图6

类型5 设

且|a|=a，|b|=t|a-b|，即|BO|=t|BA|，点B的轨迹为阿波罗尼斯圆.

例5 已知平面向量|b|=2，向量a满足

则|a|的取值范围为____.

解 设

由条件得：

以O为原点，OB所在直线为x轴建立直角坐标系，如图7,，则B(2,0)，设A(x,y)，于是

化简得：(x-3)2+y2=3，如图7，根据图形，显然

图7

涉及到向量问题，我们可以从代数和几何的角度去思考问题，代数解法需要将向量问题转化为代数问题，然后用函数与不等式等知识解决，而几何法则是借助向量的几何意义，利用轨迹的思想去思考问题，往往能够达到意想不到的效果.

参考文献：

[1]闫伟. 探求动点轨迹破解向量模的最值问题[J].数学通讯，2020(21):16-18.

作者简介：李文东(1981-)，男，湖北省咸宁人，硕士,中学一级教师，从事高中数学教学研究.