复数与三角齐飞 共轭与模长联袂

谢贤祖

(华南师大附中汕尾学校 516600)

摘 要：复数一直是高中数学联赛和自主招生数学考试中的命题热点，其中模长问题又是历年考查的重点.而复数的模长与共轭复数联系紧密，经常联袂出演，利用共轭复数解题可以起到四两拨千斤的效果.复数的三角形式也进入了新教材，用三角形式解题可以减少计算量，洞悉题目本质.

关键词：复数；共轭；模长；三角形式

一、源于教材，高于教材

在原来的旧教材人教A版选修2-2中，对复数的模长与共轭提及甚少，只是简单的介绍，不太重视.而在2019年人教A版第二册中，复数的地位得到提升，不仅给出了求复数模长的训练题，还给出了与数形结合有关的思考题；在2019年全国Ⅰ卷数学试卷中，选择题第2题复数也改变了以往的常规考法，创新了命题方式，2020年的全国Ⅰ卷理科15题也是.具体题目展示如下，由于题目简单，详细解答略.

例1 (2017人教A版第二册72页)在复平面内z对应的点为Z，满足下列条件的点Z的集合是什么图形？(1)|z|=1;(2)1<|z|<2.

例2 (2019全国Ⅰ卷第2题)z满足|z-i|=1，z在复平面内对应的点为(x,y)，则( ).

A．(x+1)2+y2=1 B．(x-1)2+y2=1

C．x2+(y-1)2=1 D．x2+(y+1)2=1

在新教材2019年人教A版第二册中则增加了复数的三角表示，而且内容详实，“三角表示”本是竞赛数学的内容，如今也渐渐走入教材，无不凸显复数地位的提升. 复数本身就是沟通向量与三角函数的重要载体，所以对其进行深入学习，无论是对自招与竞赛考试而言，还是对有志参加强基计划的学生来说，都是大有裨益. 如果只是应对高考，课本知识足矣.但要应对更难的题目还远远不够.下面补充一些课本未曾提及的复数模长与共轭的性质.

二、共轭复数的重要性质

是实数

是纯虚数

三、自主招生与竞赛真题解析

例3 (2019中科大)

是纯虚数，则|z2+z+3|的最小值是____.

点评 主动借助共轭复数去做题，看到纯虚数要想到利用

看到模长想到借助性质

这样可以巧妙化简，简化计算.用同样的方法可以解决下面的例4，详细解答略.

例4 (2020江苏预赛)

是纯虚数，则|z2-z+2|的最小值是____.

答案：

例5 (2017北大)

是实数，则|z+i|的最小值是____.

解析

或|z|2=2，若

则z∈R，且z≠0，所以

若|z|2=2，则在复平面内z所对应的点在以原点为圆心，半径为

的圆上.而|z+i|=|z-(-i)|则表示圆上的点到点(0，-1)的距离，画图分析易知该距离的最小值为

综上所述 ，|z+i|的最小值是

总结 看到一个“复数式”为实数，就利用

去化简分析.此题要特别注意分类讨论避免考虑不周.最后借助数形结合思想求最值是圆的最值问题中的常规题型，属于高考范围内的要求.

例6 (2020浙江高中数学联赛初赛)已知复数z满足|z|=1，则当|1+z+3z2+z3+z4|取得最小值时，复数z=____.

解析 若使用

对此题而言，计算量极大，下面转化思路.借助|z|=1可得

继续变形，易知

同理

设z=cosθ+isinθ，则

所以

所以原式=|2cosθ+2cos2θ+3|=|4cos2θ+2cosθ+1|，当

时，原式取最小值，此时复数

总结 看到复数的模长为1，想到设复数的三角形式，想到该复数与其共轭复数互为倒数，即

笔者发现这些解题经验，屡试不爽.此题还用到下列结论，也是要重点总结的.那就是

本题是属于逆用公式.最后将原式化简成了结构对称的

从而实现复数问题实数化，极大的简化计算.下面再看运用复数三角形式解题的例子.

例7 (2020新疆高中数学联赛预赛)复数z满足|z|=1，则|1+iz+z|的最小值为____.

解析 设z=cosθ+isinθ，则

所以

例8 (2016北大博雅计划)设a,b,c为实数，a,c≠0，方程ax2+bx+c=0的两个复数根为x1，x2，若

为实数，则

____.

解析 虚根总是成对存在的，而且互为共轭，即

看到

为实数，从而想到

令x1=|x1|·(cosθ+isinθ)，则|x1|3·(cos3θ+isin3θ)=0.

因此

所以

令

发现ω3=1.所以原式

总结 本题综合性强，用到了很多丰富的结论，现总结如下.

(1)实系数一元n次方程anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0=0的“虚根成对”，这是旧版教材和新教材都有介绍的知识，值得重视.

(2)形如

的分式型复数可以采取上下同乘共轭来实现化简的目的.

(3)本题还用到了常见结论：1-ωn=(1-ω)(1+ω+…+ωn-1)

(4)看到

为单位复数，先思考它是几次单位根，再用之解题可以“四两拨千斤”.

(5)棣莫佛定理[r(cosθ+isinθ)]n=rn(cosnθ+isinnθ)也是重点公式.

复数的三角形式已经进入新教材，高考对复数的考查难度也发生变化，未来复数在高考、自主招生、各类竞赛中的地位会越来越高，值得我们重视.本文主要展示共轭与模长的“联袂”解题以及复数三角形式的应用，而复数是沟通三角函数和向量的重要载体，它所包含的知识和性质数不胜数，笔者的研究只是冰山一角，还需砥砺前行继续研究，希望对读者有所帮助，文中若有不正之处，还望同行批评指正.

参考文献：

[1]刘诗雄.奥数教程高中第二分册[M].上海：华东师范大学出版社，2018.

[2]章建跃.普通高中标准实验教科书人教A版第二册[M].北京：人民教育出版社，2017.

作者简介：谢贤祖(1992.1-)，男，广东省汕头人，本科，中学二级教师，从事中学数学教学研究.