成才路上
奥数国家级教练与四名特级
教师联手执教。
四名高中特级教师联手打造的
以微课堂高中版
在初中阶段，我们会学习三种函数：一次函数、反比例函数、二次函数．最难的可能不是二次函数，更不是反比例，而是一次函数，因为在一次函数之前，得先明白什么是函数．
初中函数的定义是这样的：一般地，在一个变化过程中，有两个变量x和y，如果对于x的每一个值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说y是x的函数，x是自变量，y是因变量．
定义本身并不复杂，但由于字数较多，容易给人一种懵的感觉，啥？刚说啥了？啥是函数啊？
首先第一个问题，函数研究的是什么？
换个说法，在上述定义中，哪个词最能体现函数的本质？
定义看似很长，但掐头去尾，只剩中间这么一句关键的话：对于x的每一个值，y都有唯一确定的值与其对应．
哪个词最函数呢？我觉得是“对应”．
第一个问题可以这么回答：函数研究的是两个变量之间的一种对应关系．
在这里又有一个新名词：变量．
这个不难解释，字面意思，举个例子，小明同学买西瓜，已知西瓜两块钱一斤，记西瓜重量为x斤，价钱为y，则存在这样的关系：y=2x．
在上述例子中，西瓜的重量是变量，价钱也是变量，与其相对的，单价两块钱一斤的2，叫做常量，即保持不变的量．
生活中处处皆变量，因为世界本身就是变化的，老话所说：数学源于生活却又高于生活．当然我觉得把此处的“数学”改成“物理”、“语文”、“音乐”等等也没什么违和感．
继续，我们要在刚刚如此简陋的回答上继续详细化．
第二个问题：函数研究的是两个变量之间的什么样的对应关系？
换个说法，在函数定义中找第二关键词（第一是“对应”），谁可担当？
这个不难想到，剩下的词中有点实际内容的也就剩下：唯一确定．
所以什么是函数？
函数就是两个变量之间任意一个x，都有唯一确定的y这样的一种对应关系．
比如刚刚买的西瓜，y=2x描述的便是两个变量x和y之间的一种对应关系，1斤西瓜2块钱，2斤西瓜4块钱，3斤西瓜6块钱……任意挑个西瓜，都有唯一确定的定价．
我不曾探究过到底花了多少时间想出如此定价的方式，但毫无疑问，这比“大瓜10块，小瓜8块”要合理得多．思索这纷纷扰扰的世界中的一般规律，也是数学的一个愿景呐．
在定义中需要再多说两句的是x和y身份也并不相同，虽都是变量，但x叫自变量，y叫因变量．
其中“自”和“因”，字面意思，不难理解吧，这也正是汉字的博大精深之处．
知乎上有这么一个问题：为什么我们教材上不把“勾股定理”换成“毕达哥拉斯定理”？其中高赞的回答大意是：汉字能简短的几个字便能表达出想表达的意思，但英文不行．不妨试试把勾股定理翻译成英文？算了可别难为翻译官了．
同样，就好像我们很少听说“欧几里得定理”，但我们都知道“射影定理”．
我们可能没听过“泰勒斯定理”，但圆周角定理都很熟悉．
汉字，真香．
理解了“自”和“因”，不乏有同学会这么说，哦函数就是y随着x的变化而变化呀！200年前柯西爷爷就这么说过，函数虽然研究的是变量，但更侧重在“对应”而非“变化”，常数函数y=2表示：兄弟我就是2，怎么滴？
函数在英文中叫“function”，最早由莱布尼茨提出，清朝数学家李善兰翻译为“函数”．
其中“函”同“含”，意为“包含”，李老师如是说：凡此变数中含彼变数者，则此为彼之函数．
翻译成现代文就是：但凡这个变量中含那个变量的，那么这个变量就是那个变量的函数．
还是说说买西瓜那个事，不妨这么理解，在y=2x这个式子中，x是个变量，2x是包含x的，所以说2x是x的函数，当我们把2x记为y时，便说，y是x的函数．
刚刚这段仅供理解“为什么取函数这么个名字”，并不代表函数的真是意义，函数跟包不包含并没有什么关系，函数说的是两个变量之间的一种对应关系呐．
李老师之所以这么解释，个人揣测，是因为常见的函数都以函数解析式的形式出现．
所谓函数解析式，就是表达函数关系的式子，比如买西瓜中的y=2x，这是函数关系的一种表达形式，但这并不是唯一的一种表达形式，甚至，有的函数并没有函数解析式．
常见的函数表达形式有3种：列表法、解析式法、图像法．都是字面意思．
列表法虽然看似鸡肋但绝对不能缺，就像人口普查，工作量虽大但不能用抽样来代替．表示每一段函数关系都有解析式和图像，但一定可以列表．
其普适性决定了列表法虽然并不好用，但始终都在．
解析式法当然是最常见、也是最简洁的一种形式了，通常函数大题的第一问都是：请求出函数的解析式．
但解析式法有2个问题：
其一，缺乏整体直观的描述，不能体现变量的变化趋势；
其二、有些函数真的没有解析式．
黎曼猜想算半个例子吧，万一被证明了呢，我们看这样一个函数：
x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | …… |
y | 1 | 4 | 1 | 5 | 9 | 2 | 6 | 5 | …… |
取π的小数部分，以序数作为自变量x，其对应的小数的值作为因变量y，解析式当如何？当然像这样的函数我们平时也不会遇到，知道它静静地存在，就不用去打扰它了．
至于图像法，完美地解决解析式法的第一个问题，而它的缺点——画图麻烦、不精确，正是解析式法的优点，解析式与图像，不仅仅是函数的代数形式与几何形式，两者本身便是相辅相成，共同演绎函数．
那有没有函数画不出其图像呢？
当然有啊，比如狄利克雷函数：
真实存在却画不出来，甚至都难以想象．
函数以解析式或图像呈现对应关系，但函数却又不仅仅是解析式和图像．
所以函数是什么？函数就是函数啊，函数的函，函数的数．
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