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数列求和新题型
——指数式裂项求和，见过没有？
湖北省阳新县高级中学 邹生书
裂项相消法是数列求和的一种特殊方法。在求数列前n项和时，把通项分裂成两项之差，相加后消去中间的大部分项，只余下首尾的若干项，这种求数列和的方法就是裂项相消法。将各项分裂成两项之差然后相消求和的例子不胜枚举，而含有指数式的裂项求和，特别是含有（-1）^n的裂项求和更是罕见，在高考和模拟考中简直是凤毛麟角！一旦出现在考场上，由于少见或者根本没见过，老师没有讲过，平时没有做过，学生没有这种题型的解题经验和套路可寻，往往不知从何下手。下面编者收集整理了7个题目3种类型，并将其解法呈现给读者朋友，见过了学习了掌握了，以后再遇到此类问题就不至于大惊小怪了，而是见多不怪，从容应对了。
例3(武汉市2021届高中毕业生五月供题第18题)
例4（2014年山东卷理科第19题）
(2)文[1]和《2014年全国各省市高考试题汇编》数学（理科）的解法相同，解答如下：
评注:先求项数n为偶数时前n项的和，再以此为基础求出n为奇数时前n项的和，最后整合，这是解决通项含有因子(-1)n的数列前n项的和的常用方法，但对于本题而言，其实并不需分类讨论，可以裂项相消求和而一步到位，解法如下：
无独有偶，2015年武汉市高中毕业生5月模拟考试理科第19题的第2问，也是这样的一道数列求和题，参考答案给出解答和文[1]如出一辙，也是用奇偶分析法，先分类后整合，解法冗长，下面给出原题，并用裂项相消法简解第2问。
例6（2021高考模拟演练数学（一）衡中同卷之押题卷第18题）
点评：本题第2问数列求和实际上采用的是分组求和，其前半部分是一个指数列式裂项求和，后半部分当作是通项为（-1）n·n的求和问题，这里是通过奇偶分析分类讨论的方法进行求和的，当n为偶数时，正好配对成n/2组，每组的和均为1，故其和为n/2.当n为奇数时，有两种方法分组求和，一种方法是保留首项，另一种方法是保留最后一项。另一方面，通项为（-1）n·n的数列求和也可以当作是我们熟悉的差比数列求和，可以用错位相减法，但不及奇偶分析分组求和好，读者不妨用错位相减做来试试，比较比较。
小结：从上述试题及其解法可知，指数式裂项求和问题，题型虽新颖，但难度不大，在解答题中位置靠前。解法与常见的裂项求和方法迥异，规律性不明显有的裂成两项之差，而有的裂成两项之和，解法因题而异，解题时有时需要进行尝试来确定是裂成和还是裂成差。一旦学习便很快掌握。另外，特别要注意系数配平，保证恒等变形。裂项是手段，相消是关键，求和是目的。
参考文献：
[1]任宪伟，张鹏。裂项求和一览[J]，数理天地(高中版2016（4）
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