史蒂夫·斯托加茨：微积分的哲学智慧

文/姚斌

数学家史蒂夫·斯托加茨对微积分的认识十分深刻。他认为宇宙是高度数学化的，但原因无人知晓。他在《微积分的力量》中写道，这或许是包含我们在内的宇宙的唯一可行的存在方式，因为非数学化的宇宙无法庇护能够提出这个问题的智慧生命。无论如何，一个神秘且不可思议的事实是，我们的宇宙遵循的自然律最终总能用微积分的语言和微分方程的形式表达出来。

这类方程能描述某个事物在这一刻和下一刻之间的差异，或者某个事物在这一点和在与该点无限接近的下一个点之间的差异。尽管细节会随着我们探讨的具体内容而有所不同，但自然律的结构总是相同的。这个令人惊叹的说法也可以表述为，似乎存在着某种类似宇宙密码的东西，即一个能让万物时时处处不断变化的操作系统。微积分利用了这种规则，并将其表述出来。

艾萨克·牛顿是最早瞥见这宇宙奥秘的人。他发现，行星的轨道、潮汐的规律和炮弹的弹道，都可以用一组微分方程来描述、解释和预测。这些方程被称为牛顿运动定律和万有引力定律。自牛顿以来，每当有新的宇宙奥秘被揭开，我们就会发现同样的模式一直有效。从古老的土、空气、火和水元素到现代的电子、夸克、黑洞和超弦，宇宙中所有无生命的东西都遵循微分方程的规则。因此，理查德·费曼说“微积分是上帝的语言”。

微积分和其他数学形式一样，不仅是一种语言，还是一个非常强大的推理系统。依据某些规则进行各种符号运算，微积分可以实现方程之间的转换。这些规则有扎实的逻辑根基，尽管看上去只是在随机变换符号的位置，但实际上是在构建逻辑推理的长链。随机变换符号的位置是有效的简化手段，也是构建人脑无法处理的复杂论证过程的简便方式。如果足够幸运和娴熟，能以正确的方式进行方程变换，就可以揭示这些方程的隐藏含义。这个过程离不开创造力，因为我们通常不清楚应该进行哪些操作。

微积分是一个由符号和逻辑构成的想象领域，大自然则是一个由力和现象构成的现实领域。如果从现实到符号的转换足够巧妙，微积分的逻辑就可以利用现实世界的一个真理生成另一个真理，即输入一个真理然后输出另一个真理。这个真理有可能是新的，是从来就没有人知道的关于宇宙的事实，比如电磁波的存在。

微积分十分痴迷于简单性，它让复杂的难题简单化，已经处理和解决了人类有史以来面临的一些最困难和最重要的问题。微积分成功的方法是把复杂的问题分解成多个更简单的部分。所有善于解决问题的人都知道，当难题被分解后，就会变得更容易解决。微积分真正不同凡响和标新立异的做法在于，它把这种分而治之的策略发挥到了极致，也就是无穷的程度。它不是把一个大问题切换成有限的几小块，而是无休止地切分下去，直到这个问题被切换成无穷个最微小并且可以想象的部分。之后，它会逐一解决所有微小问题，这些问题通常要比那个庞大的原始问题更容易解决。此时，剩下的挑战就是把所有微小问题的答案重新组合起来。这一步的难度往往会大一些，但至少不会像原始问题那么难。

因此，微积分可分为两个步骤：切分和重组。用数学术语来说，切分过程总是涉及无限精细的减法运算，用于量化各部分之间的差异，这个部分叫做微分学。重组过程总是涉及无限的加法运算，将各个部分整合成原来的整体，这个部分叫做积分学。这种策略可用于我们能够想象的做无穷切分的所有事物，这类事物被称作连续体，据说它们是连续的。比如，正圆的边缘、悬索桥上的钢梁、餐桌上逐渐冷却的一碗汤、飞行中标枪的抛物线轨迹，或者你活着的时光。形状、物体、液体、运动和时间间隔等都是微积分的应用对象，它们全部或者几乎都是连续的。

更广泛地说，被微积分建模为连续体的实体类型，包含了我们能想到的几乎所有东西。微积分可以描述球如何不间断地滚下斜坡；光速如何在水中连续的传播；蜂鸟的翅膀和飞机机翼周围的连续气流如何使它们在空中飞行，以及患者开始采取药物联合治疗后，他血液中的HIV（人体免疫缺陷病毒）颗粒浓度在接下来的日子里如何持续下降。在每种情况下，微积分采取的策略都一样：先把一个复杂而连续的整体切换成无穷多个简单的部分，然后分别求解，最后把结果组合在一起。

从微积分到达十字路口的4个世纪以来，它已经从代数和几何学扩展到物理学、天文学、生物学、医学、工程学、技术学，以及其他所有不断变化的领域。而且，微积分将时间数学化了。尽管我们的世界存在的种种不公、苦难和混乱，但微积分给了我们这样的希望：世界本质上可能是公平合理的，因为它遵循的是数学定律。有时我们可以通过科学找到这些定律，有时我们可以通过微积分理解它们，有时我们可以利用它们改善生活，匡扶社会，以及推动历史进程朝好的方向发展。

微积分故事中的关键时刻出现在17世纪中叶，曲线之谜、运动之谜和变化之谜在二维网络——皮埃尔·德·费马和勒内·笛卡尔的xy平面——上发生了碰撞。而那时，费马和笛卡尔并不知道他们创造出的这个工具有多么强大。他们的初衷是把xy平面作为纯粹数学的工具。然而从一开始，它就堪称一个十字路口，因为方程与曲线、代数与几何学、东方数学与西方数学都在这里相遇了。到了下一代，牛顿在费马、笛卡尔、伽利略和开普勒的研究成果的基础之上，将几何学和物理学结合起来。构建了一个伟大的综合体。牛顿的思想火花点燃的启蒙运动之火，引发了西方科学和数学革命。

从曲线之美与运动之谜、变化之谜发生碰撞的几个世纪以来，作为枢纽的xy平面变得越来越重要。今天，所有的定量领域都用它来绘制数据图表和揭示隐藏的关系。通过它，我们可以直观地看出一个变量如何取决于另一个变量，也就是说，当其他条件保持不变时，x和y的关系如何。这种关系可以用一元函数来建模，并用符号表示表示为y=f(x)。在这里，f是一个描述变量y(因变量)如何随变量x(自变量)变化的函数，它的前提是其他所有条件都确定不变。这个函数模拟了世界在最有序状态下的行为，一个原因会产生一个可预测的结果，一剂药会激发一种可预测的反应。

对技术行业的从业者来说，数字只是开始。科学家、工程师、数量金融分析师和医学研究人员需要弄清楚数字之间的关系，从而了解一件事会如何影响另一件事。想要描述这样的关系，函数就是必不可少的，它们提供了为运动和变化建模所需的工具。一般来说，事物的变化方式有三种：上升、下降或上下起伏。换句话说，就是成长、衰退或波动。以下让我们聚焦与幂律分布密切相关的函数。不同的函数适用于不同的场合。

（1）幂函数。像x²或x³这样的幂函数，其变量x会自乘若干次。其中最简单的是线性函数，其因变量y与自变量x成正比。比如，如果y是你吃掉一片、两片或三片肉桂葡萄干面包后摄入的热量，那么y会按照方程y=200x增长。x是你吃掉的面包数量，200卡路里是每片面包的热量。但是，对二次增长来说，在计算器上设置x²非常有用。二次增长不仅仅是乘法运算。比如，如果我们让x分别等于1、2和3，然后看看y=ⅹ²对应的值会如何变化。我们将会发现y分别为1²=1，2²=4，3²=9。y值的增长幅度不断变大，一开始是Δy=4-1=3，然后是Δy=9-4=5。如果继续算下去，y值的增量将依次为7，9，11…，它们遵循奇数模式。因此，对二次增长来说，改变量本身会随着x的增长而增大，这表明越往后函数值的增长越快。幂函数可用于为不太剧烈的增长方式建模。

（2）指数函数。相对于温和的幂函数，诸如2ˣ或10ˣ之类的指数函数中，描述的一种爆炸式增长，犹如雪球一般越滚越大。指数增长不像线性增长那样每次增加一个产量，而是要乘上一个常数因子。比如，培养皿中的细菌种群每过20分钟就会增加一倍。如果最初有1,000个细菌细胞，过20分钟就会有2,000个细胞，再过20分钟就会有4,000个细胞，又过20分钟就会有8,000个，然后是16,000个、32,000个，以此类推。在这样的例子中，指数函数2ˣ发挥了作用。具体来说，如果我们以20分钟为单位来计量时间，那么在x个时间单位之后，细菌数量将会达到1,000×2ˣ 个。从真正的病毒增殖到社交网络中信息的病毒式传播，类似的指数增长都有各种滚雪球式的过程有关。

在像2ˣ这样的指数函数中，数字2被称为函数的底数。在微积分预备课程中，最常用的底数是10。相比其他底数，人们更偏爱10，但这并不是出于数学上的原因，而只是一种世代相传的偏好。因为生物学进化上的一个意外，人类碰巧有10根手指，所以我们的算术系统十进制就是以10的次方为基础的。出于同样原因，所有的新生代科学家，最初遇到的指数函数都是10ˣ，这里的x被称为指数，当x取1、2、3或其他任意正整数时，它表示在10ˣ中有多少个10彼此相乘。指数函数可用于会越来越快的增长过程建模。

（3）10的次方。在科学领域，有很多我们用10的次方来简化计算的情况。特别是在数很大或很小的时候，用科学计数法来改写它们是一个好办法，即用10的次方尽可能简洁地表示这些数。10的次方中的前三个是我们每天都会遇到的数：10¹=10，10²=100，10³=1000。它们的变化趋势是，左边一列(x)呈可加性增长，而右边一列(10ˣ)呈可乘性增长，也就是我们预期的指数增长。10的次方是十分强大的压缩机，能把巨大的数字缩减到更易于我们理解的程度，这也是它们如此受科学家欢迎的原因。在某个量的变化涉及许多数量级的情况下，人们通常会用10的次方来定义一个适当的测量尺度，这样的例子包括酸碱性的pH标度、地震的里氏震级和响度的分贝标准。比如，如果溶液中的pH值从7(中性，比如纯水)变为2(酸性，比如柠檬汁)，氢离子的浓度就会增加5个数量级，即10⁵或10万倍。尽管氢离子浓度的确变化了10万倍，但pH值从7降到2的量度方法让这个过程看似只走了5小步，根本没发生多大的变化。

（4）自然对数。如今，底数10已经被另一个看似深奥但其实远比它自然的底数取代了。这个底数被称为e。e是一个接近2.718的数，也就是欧拉常数。e是一个复杂的极限，无穷是e的固有属性，就像数字π是圆的固有属性一样。当指数函数被表示成以e为底数的形式时，这个不可思议的性质就可以简化所有计算。其他底数则享受不到这种简单性，无论我们用的是导数、积分、微分方程还是其他微积分工具，以e底数的指数函数总是最简洁、最优雅和最美丽的。自然对数非常实用。比如，它是投资者和银行家熟知的72法则的基础。想要估算在年回报率已知的情况下，银行里的存款增加一倍所需的时间，就可以用72除以回报率。因此，如果年增长率为6%，那么银行里的存款将在12年（72/6）后增长一倍。这个经验法则遵从自然对数和指数增长的性质，如果利率足够低，就会行之有效。

（5）指数增长与指数衰减。一个特别之处就在于eˣ的变化率是eˣ。因此，随着这个指数函数的图像不断飙升，其斜率总会与它当前高度相匹配，越高的地方就越陡峭。用微积分术语可表述为，e是它自身的导数。除eˣ之外，没有其他函数能做到这一点。因此，eˣ是所有函数中最美妙的，至少在微积分领域如此。虽然底数e是独一无二的，但其他指数函数也遵循类似的增长原则。唯一的区别在于，指数增长率与函数的当前水平成正比，而不是严格地等于后者。不过，这种正比关系足以让我们联想到爆炸的指数增长。比如，对细菌增殖来说，越大的种群增殖越快，因为细菌越多，其中可以分裂并产生后代的细胞就越多。除了增长过程之外，衰减过程也可以用指数函数来描述。指数式衰减是指某个事物与当前水平成正比的速度减少或者消耗。比如，在一块孤立的铀块中，不管一开始有多少原子，总有半数原子会在相同的时间内发生放射性衰变。它们的衰变时间被称为半衰期，这个概念也适用于其他领域。

微积分呈现了无穷的原则。斯托加茨教授深信，通过正确地应用“无穷”，微积分可以解开宇宙的奥秘。尽管我们一再看到这种事情发生，却让人感觉不可思议：人类发明的推理体系竟然与自然的步骤一致。微积分的可靠性不仅体现在它诞生的尺度（日常生活的尺度，比如陀螺和几碗汤）上，还体现在最微小的原子尺度和最宏大的宇宙尺度上。所以，它不只是一种循环推理的游戏。它不是指我们把已知的东西塞入微积分，然后微积分再把这些东西还给我们。微积分告诉我们的事情是我们过去没见过，现在见不到，将来也无法看见的东西。在某些情况下，它会告诉我们一些从未存在过但现在可能存在的事物，前提是我们要拥有它魔法般出现的智慧。

在这其中，关于复杂的非线性系统的数学研究令人沮丧。不管是经济、社会和细胞的行为，还是免疫系统、基因、大脑和意识的运转，对任何想在我们时代的哲学最棘手的问题上取得进展的人来说，即使不是完全不可能，似乎也总是很困难。一个更大的难题是，我们甚至不知道其中一些系统是否包含类似开普勒和伽利略发现的那些模式。神经细胞有，但经济或社会可能没有。在许多领域，人类的理解仍然处于前伽利略或前开普勒阶段。我们尚未找到模式，也无法洞见这些模式更深层次的理论。生物学、心理学和经济学都不是牛顿式的，它们甚至也不是伽利略式或开普勒式的。所以，我们还有很长的路要走。