上海中考数学第24题分析（中）

                                                ——二次函数中的三角形存在问题

一、我们先复习下各类特殊三角形的性质

1、等腰三角形

性质：两腰相等，两底角相等，三线合一（中线、高线、角平分线）。

判定：两腰相等，两底角相等，三线合一（中线、高线、角平分线）的三角形是等腰三角形。

2、直角三角形

性质：满足勾股定理的三边关系，斜边上的中线等于斜边的一半。

判定：有一个角是直角的三角形是直角三角形。

3、等腰直角三角形

性质：具有等腰三角形和等边三角形的所以性质，两底角相等且等于45°。

判定：具有等腰三角形和等边三角形的所以性质的三角形是等腰直角三角形

4、等边三角形

性质：三边相等，三个角相等且等于60°，三线合一，具有等腰三角形的一切性质。

判定：三边相等，抛物线或坐标轴或对称轴上三个角相等，有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。

 

二、两圆一线VS两线一圆

1、“两圆一线”模型

   如图，线段AB，在平面内找一点C使得△ABC为等腰三角形；这样的点C的集合如下图所示，在以点A，B分别为圆心且AB为半径的圆和AB的垂直平分线上，除了与AB在同一直线上的点外的所有点，简称“两圆一线”。

2、“两线一圆”模型

   如图，线段AB，在平面内找一点C使得△ABC为直角三角形；这样的点C的集合如下图所示，分别过点A，B作线段AB的垂线，并以AB为直径画圆，除点A，B以外的点都可以与点A，B构成直角三角形，这个模型简称“两线一圆”。

三、关于等腰三角形找点（作点）和求点的方法

1、等腰三角形找点（作点）方法：以已知边为边长，作等腰三角形，运用两园一线法，在图上找出存在点的个数，只找不求。

2、等腰三角形求点方法：以已知边为边长，在抛物线或坐标轴或对称轴上找点，与已知点构成等腰三角形，先设所求点的坐标，然后根据两点间的距离公式求出三点间的线段长度，然后分顶点进行讨论，

例1：已知两点A、B，在二次函数图像上求一点C，使得△ABC 为等腰三角形

解法——这是求点法：

第一步：先运用两点间的距离公式分别求出线段AB、BC、AC的长度；

第二步：作假设，（1）以点A为顶点的两条腰相等，即AB=AC；（2）以点B为顶点的两条腰相等，即BA=BC；（3）以点C为顶点的两条腰相等，即CA=CB；

第三步：根据以上等量关系，求出所求点的坐标

第四步：进行检验，这一步是非常重要的，因为求出的有些点是不符合要求的。

 

四、关于直角三角形找点和求点的方法

1、直角三角形找点（作点）方法：以已知边为边长，作直角三角形，运用两线一园法，在图上找出存在点的个数，只找不求。所谓的两线就是指以已知边为直角边，过已知边的两个端点分别作垂线与抛物线或坐标轴或对称轴的交点，就是所求的点；一圆就是以已知边为直径，以已知边的中点作圆，与抛物线或坐标轴或对称轴的交点即为所求的点。

2、具体方法

①k1·k2=﹣1；

②三角形全等（注意寻找特殊角，如30°、60°、45°、90°）；

③三角形相似；经常利用一线三等角模型；

④勾股定理；当题目中出现了特殊角时，优先考虑全等法。    

 

五、解决二次函数三角形存在问题的2个重要方法

（1）几何法三部曲——其中几何法也称之为“画图法”

1、先分类；2、再画图；3、后计算。

（2）代数法三部曲——其中代数法也称之为“盲解法”

1、先罗列三边；再分类列方程；3、后解方程、检验；

（3）代数法和几何法相结合——相得益彰、又快又准；