阿波罗尼斯圆
若一动点到两定点的距离之比为定值，则该动点的轨迹是圆。
注：此结论是由古希腊数学家阿波罗尼斯在他的著作《平面轨迹》中提出的。
分析：
作∠APB的角平分线交AB于点M，作∠APB的外角平分线交AB的延长线于点N，
故由角平分线性质可得：
所以点M和点N为定点
点M为线段AB的内分点，点N为线段AB的外分点
且∠MPN=90°，
故动点P的轨迹是在以MN为直径的圆上
定长线段AB，点B称为圆内端点，点A称为圆外端点
总结：阿波罗尼斯圆的三要素：
①定比 ②定长线段（两个定点）③圆；
所以出题时通常是知二求一，这是非常关键的。
题型一、已知定比和定长线段
【解题】
例题1、如图在△ABC中，BC=6，AB=2AC，求△ABC的最大值。
分析：
已知定比和定长线段确定圆，确定内分点和外分点M、N，
则BM：CM=2:1，BN：CN=2:1，
∴BM=4，CM=2，CN=6
∴直径MN=8
∴△ABC面积的最大值：12
【出题】：确定定长线段和定比即可，从而确定动点轨迹。
题型二、已知定比和圆
【解题】
其实所谓的敌人只不过是一个幻影，消灭敌人的幻影，就能找到隐藏其后的真身
——李小龙《龙争虎斗》
如图在平面直角坐标系中，点A（2,0）B（0,2）C（4,0）D（3,2），点P为第一象限的动点，且∠APP=135°，求2PD+PC的最小值？
2、已知圆内端点
例题3、如图，点A、B在圆O上，
OA⊥OB，OA=OB=12，点C为OA
的中点，点D在OB上，OD=10，
点P是圆上一动点，求2PC+PD的最小值？
分析：确定圆外端点E即可
在OA上找一点E，OE：OP=2:1（或AE：AC=2:1）【验证：OP：OC=2:1】
∴PE=2PC
∴2PC+PD的最小值为：26
【出题】
确定圆和圆内端点，即确定定比=半径：圆心到圆内的点的距离，所以系数必大于1，可缩小倍数迷惑学生，故解题时先要看清哪个才是真正的圆内端点
解题方法总结：
1、已知圆外端点确定圆内端点：先确定真正的圆外端点，看系数，若小于1，即为后面的端点；若大于1，提取系数再确定真正的圆外端点，继而确定圆内端点。
2、已知圆内端点确定圆外端点：先确定真正的圆内端点，看系数，若大于1，即为后面的端点；若小于1，提取系数再确定真正的圆内端点，继而确定圆外端点。
出题方法总结：
1、确定圆，确定圆外或圆内端点
2、若圆外端点，则定比=半径：圆心到圆外端点的距离，再变换系数
3、若圆内端点，则定比=半径：圆心到圆内端点的距离，再变换系数
4、背景隐藏，如圆的轨迹隐藏为边对角或到定点之距为定值
题型三、已知圆和定长线段
注：此问不难，只因实在想不出较好的问题，故勉强为之，抱歉！
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