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在2018年深圳中考中第16题:
如图,Rt△ABC中,∠ACB=90º,∠BCA和∠ABC的角平分线AE、BD相交于点F,若AF=4,
则AC=( )。此问题的解答已在前面的文章中详细解答过(详见据说大深圳今年中考数学很难:先围观两道压轴题)。
如果此题条件不变,而结果要求出此题图形上所有线段的长度,能否办到?或者说由线段AF、DF的长度能否决定Rt△ABC各边的长度和角度?
下面我们来探讨这个问题:
即已知条件不变,求9个线段:AC、BC、AB、CD、CE、EB、FE、AE、BF的值。
解开此题的关键是求得∠AFD=45º,然后根据含45º角作辅助线的方法(详见含45º角的三角形及辅助线作法(8年级、9年级培优)),构造直角三角形△FDG(如图1),求得DG=FG=1,AG=3。
过点F作FH⊥AC于点H,作FK⊥BC于点K(如图2):
∵F为Rt△ABC的内心,
∴FH、FK为Rt△ABC内切圆⊙F的半径,
∴四边形HFKC为正方形,
根据角平分线定理(详见比例与相似高级教程(七):相似三角形的角平分线模型):
根据勾股定理,BC∶AC∶AB=3∶4∶5,
由CE∶AC=1∶3,得:
在Rt△ACE中,根据勾股定理:
在Rt△ACE中,根据勾股定理:
所以,我们依次算出了9个线段的长度,由此看出,DF、AF的决定了Rt△ABC各边的长度和角度。
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