备用号已开设数学题专栏，每一期将精心挑选一道数学题，涉及几何，代数，逻辑，拓扑，概率，数论，逻辑等所有数学领域。
一，
平面向量的概念和内容是高中数学必修课的一个重点，进入大学数学专业学习后，往往还会接触一门课程《空间解析几何》，这门课程的一大主题是空间向量。我发现不论是中学教材讲平面向量，还是大学教材讲空间向量，都是开宗明义地强调，向量和数量不一样，数量只有大小，没有方向，而向量既有大小(长度)，又有方向。
其实，强调向量和数量的不同是没有问题的。但更应该强调的是，向量和数量，在概念上的延续性！
向量一般是用有向线段表示，如下图
其中点A和点B分别是向量的起点和终点。
二，
我们可以有平面(二维空间上的)向量，可以有空间(三维空间上的)向量，为什么不可以有一维空间上的向量，就是数轴直线上的向量呢？
想象一下，如果人类只生活在二维空间中，虽然二维空间比我们现在生活的空间要单调多了，已经不能跳跃了，但二维空间中还是可以有很多方向可走，比如东南西北方向，东偏南30度方向等等。
再想象一下，如果人类只生活在一维空间中，那就更单调了，只能左右移动，注意这时我们根本无法想象其他方向。
也就是说，在一维空间(数轴直线)上，我们只有两种方向：左和右。
虽然方向只有两个，很少，但是，只要有方向，生活在一维空间中的我们也可以谈向量。这种向量方向始终是沿着数轴的方向，如果我们让向量的起点与数轴原点重合，那么向量的终点就会对应于数轴上的一个点
三
这样，一维向量，和数轴上的点，和实数，就建立起了一一对应的关系，方向为右的一维向量对应正实数，方向为左的一维向量对应负实数，零向量对应于0这个数。接下来我们按这种方式把全体一维向量和全体实数等同起来。所以，实数就是一维向量，实数的符号就是它的方向，实数的绝对值就是它的长度。可以说向量就是数量的推广。
向量的加法(首尾相接)：设给定两个向量a,与b,从空间中任意一点O从发做向量
得到折线OAB，
向量a,与b的和就是定义为
记作a＋b＝c。注意任何向量加上零向量都是不变的。
我们也可以用首尾相接的方法定义一维向量的加法，这时一维向量的加法正好对应于实数的加法。我们再来看看平面向量内积的定义，
两个向量的内积是定义为一个数，等于两个向量的长度乘以夹角余弦：
对于两个一维向量，或者两个实数而言，他们的夹角，只能是0度(方向或者符号相同时)或者180度(方向或者符号相反时)。所以两个一维向量的内积，绝对值等于长度的乘积，方向相同时符号为正，相反时，符号为负。注意，这实质上就是实数的乘法，和众所周知的负负得正(参见相关文章《【通俗数学】负数介绍——为什么负负得正？》)。
类似地，数和向量之间还有数乘运算。一个正数a乘以一个向量后，得到一个方向不变，大小(长度)变为原来的a倍的新向量。—1乘以一个向量后，得到一个大小(长度)，方向相反的新向量。在一维向量的情况中，这也正是对应着实数的乘法和负负得正的法则。所以在一维向量中，数乘运算和内积运算实质上是一样的，都对应于实数的乘法。
四，
所以，初中学的实数，数轴，实数加法乘法，交换律，结合律，分配律，和高中学的平面向量，大学学的空间向量，向量加法，数乘，内积，交换律，结合律，分配律其实是完全一脉相承的，许多关于向量的知识点，都有一维，二维，三维的版本，形式上应该完全相似。再举个例子说明，比如由空间向量知识导出的空间两点距离公式是
平面上两点的距离公式是
而初中学的数轴上两点距离公式却是，
此时，这个公式应该写成
这样就可以和上面两个距离公式形成完美的类比。
四，
从实数及其加减乘除运算，到平面向量，空间向量及其运算，从一维，到二维到三维，是一脉相承的。但三维不应该成为我们的终点，向量，加法，数乘，内积运算，两点距离公式完全可以延伸到四维，五维，任意有限维空间，称为向量空间。这种延伸已经从初等数学跨越到了高等数学，相关的数学课程是大学里的《高等代数》和《线性代数》。还可以继续从有限维向量空间延伸到无限维向量空间，相关的数学课程是数学专业高年级开设的《泛函分析》。《泛函分析》这样的课程内容即使对于许多数学专业的学生来说，也是非常抽象，深刻的。但是无论延伸到多么抽象，多么深刻的现代数学中，起点都是简单的实数加减乘除。
很多人可能觉得一维向量的情况非常简单，没必要强调。我认为恰恰是因为非常简单，所以容易被忽视。怎么说呢？一个“正统”的数学理论，往往是不受维数限制的，可以推广到任意高维。但是在推广到高维之前，不妨先将其在一二三维的情况彻底搞清楚，它可以被推广到高维的一个先决条件是，它可以推广到一维。
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