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安宇森 | 宇宙监督假设的发展
2020年的诺贝尔物理学家,其中1/2给予了Penrose爵士,以表彰他对于黑洞物理的卓越贡献。Penrose证明了奇点定理,预示着在宽松的条件下,奇点一定会形成。而奇点带来的奇怪特征,Penrose又通过提出宇宙监督假设的猜想来将其避免,宇宙监督假设的意思是说时空的奇点总会通过一个视界将它包裹,从而不会裸露。因此,二者结合说明了黑洞形成是广义相对论演化的必然结果。
由上可以想见,在奇点定理之外,证明宇宙监督假设也是一个非常非常重要的问题。但是同时也是一个困难的问题。因此诞生了很多的思想实验,希望通过向一个黑洞内注入物质来看是否有可能摧毁这个黑洞的视界,从而让奇点裸露。如果可以证明一个“不可能定理”,那么就构成宇宙监督假设成立的非常坚实的论据。
本文试图介绍这个思想实验的发展过程:
思想实验简单介绍及Hubeny过程:
对于带电黑洞:
对于带电物质:
因为第一项非负,所以可以证明 
 。
对于极端RN黑洞: 
 。所以此时加入带电粒子之后仍有关系
可以看出宇宙监督假设不会违反。从物理上来看,如果扔进一个粒子进黑洞,当电荷足够大的时候,那么由于和RN黑洞的库伦排斥力,粒子无法进入黑洞。如果让其进入黑洞,则需要粒子的初速度足够大克服库伦力做功,但这时相当于增加了粒子的动能,所以最终落入黑洞时给黑洞带来的能量变化依然大于电荷变化。
这一个思想实验在1999年起了一个小波澜,Hubeny在近极端黑洞的时候做了类似的思想实验,发现在考虑二阶效应时有可能违反宇宙监督假设。
她引入了一个参数
 ,这个参数表明电势如下 
 。
所以粒子满足的方程
 ,因为易证 
 时不难看出宇宙监督假设会被违反。这个原因比较明显,就是在计算能量的高阶变化的时候没有考虑电磁场的自能效应。但是处理却是有难度的,因为并不知道如何考虑这个效应。
这一问题的解决是Wald等人在最近做的
Wald的形式化构造:
Noether荷是如下构造: 
求导数:
利用 
 ,其中 
 是约束,Q是诺特荷,可以得到关系式
这个等式是后面用到的很重要的关系。
下面来看如何利用Wald formalism解决Hubeny的高阶的问题,在这个过程中,需要做到二阶变分,所以需要利用上面推出的重要关系式来看二阶下的关系
定义关于微扰 
 的正则哈密顿量(通常的正则哈密顿量定义的是 
 的)。
由上面的公式再对 
 求一个导数,然后在 
 的地方计算,可以等价的写为
然后需要在不同的拉式量下计算这个表达式的具体形式:
比如在Einstein-Maxwell理论中,有度规场和电磁场的贡献。对于 
 这一项,有黑洞视界处和渐近无穷远处两部分的贡献。同时,视界处的贡献也会分为电磁场和引力场的两部分。对于一阶的计算分别给出
在视界处:
在无穷远处:
所以一阶下的定律,右侧把约束具体的写出来
二阶下的定律类似
关于Hubeny过程的讨论:
在视界处的二阶扰动可以impose如下规范条件 
 ,即扰动趋近于视界上为0. 所以二阶下的定律可以进一步简化。
有了二阶下的定律,可以来进一步看这个方程,后两项的计算
 在视界上的拉回映射vanish,所以这项为0.
第二项 
 .这是电荷的变化,注意和 
 进行区分,而第一项:
非电磁部分的能动张量只要满足类光能量条件,则此式大于0.
剩下的就是计算: 
图片来自参考文献【1】
并且每一项还可以被分成电磁项和GR的贡献
首先我们考虑视界上的项然后再考虑 
 的.
第一项计算为
从EM的辛形式可以看出, 我们找到了如下公式:
使用ansatz 
 和H上的规范条件 
 . 后两项为0
第一项可以写作:
上面的第一项是边界项,用稳态扰动下,这一项等于0.第二项写作
用规范条件,第二项法于视界,因此正比于 
 因为 
 反对称,所以 
 切于视界. 因为这一项只有在和视界体元缩并的时候才会出现,所以这一项积分之后总是为0的,不会贡献进入Canonical Energy。
所以
这一项也是非负的,可以视为进入黑洞的电磁能量流。以上是视界部分的项。
然后计算 
 这一项:即渐近边界上的项
这时需要考虑一种特殊的扰动,即考虑从KN黑洞到KN黑洞这种扰动
在这种特殊的扰动下,可以得到
因为其他额外的项都是大于0的,所以结合以上最终推得如下结果
 是黑洞的面积
可以严格的计算 
引入参数
展开到 
 的最低阶, 相应的不等式最终化作
使用上面导出的不等式作为约束,然后定义函数
使用上面导出的二阶变化的不等式作为约束可以证明 
 .这个函数严格大于等于0说明不存在破坏极端黑洞的情况,而可能小于0则存在这种可能性。
具体如下:
我们可以展开 
 到 
 的第一阶和第二阶, 在第一阶发现它可以小于0,这就是Hubeny给出的悖论。
但是在第二阶, 表达式可以重铸为一个完全平方式,所以强宇宙监督假设不会违背。
以上计算虽然没有考虑具体的自能的形式,但是根据Wald formalism可以自然的包含所有的贡献。在这个思想实验的意义上,宇宙监督假设成立。
这个计算颇为复杂,需要对于Noether荷方面的计算有非常好的把握才可以做到,但的确它是熟悉利用Wald formalism解决具体问题的一个很典型的例子。
参考文献:
【1】:1707.05862, Sorce and Wald, Kerr-Newman black hole can not be over-charged or over-spun.
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