安宇森 | 谈谈视界

作者介绍：中科院理论物理研究所博士

导言

通常提起黑洞，人们第一反应就是一个有去无回，光都无法逃逸的面，其实这个想法来自黑洞视界的定义，但是对于不同情况，视界的定义很不一样，因此有时会造成一定的误解。为了澄清这种不清晰性，我们这篇文章来主要介绍一下视界的不同定义，并据此来说明不同的视界在不同时空情况下的用途。最后，我们以一个简单的宇宙学中的例子来介绍不同的视界如何计算，以及视界相对应的热力学。

事件视界

事件视界是通过时空的因果结构定义的，它定义为未来类光无穷远的因果过去的边界，记作

.事件视界从定义上就框定了黑洞的性质，即对于一个无穷远观测者时空存在一个区域，使得这个区域发出的信息不能到达这个观测者。事件视界从定义上一定是类光的，同时它具有非定域的性质，我们需要知道整个时空未来的演化才能通过因果结构来确定事件视界的位置，因此在静态时空下，例如永恒黑洞之类的情况，这个定义很方便，但是当时空在演化的时候，事件视界的定义就显得很奇怪。难道一个时刻视界的位置要依赖于未来其全部的演化历史吗？在这种情况下，更为自然的定义便是表观视界。

表观视界

在4维时空下，给定一个3+1时空分层，在这个三维分层上有类光的测地线汇，根据线汇我们计算其上的膨胀

：对应未来的外向矢量，

：对应未来的内向矢量。表观视界定义为在这个三维分层上的最外围临界陷俘面，方程是：

它的物理含义即，存在一个区域，无论内向的光线还是外向的光线都无法逃出这个区域，这个区域自然的可以叫做黑洞，而表观视界就是这个区域的边界。因为取定了分层的方式，我们可以在每一层都计算这个

的位置，从而确定一系列这个面的位置，把它们连接起来。有时候管这个链接起来之后的3维面叫做演化表观视界。表观视界的定义依赖于时空的3+1分解，这也就导致了很多时候由于不同的面的选择，有些选择会看到表观视界有些则不会。即使表观视界并不依赖于坐标系。为了消除表观视界中对于面

的依赖，后面会选择陷俘视界来作为表观视界的替代。

表观视界的位置和事件视界通常并不相同，在满足类光能量的条件的时候，

，表观视界永远在事件视界的内部。虽然这个经典类光能量条件经常会被霍金辐射等物理破坏。

陷俘视界

陷俘视界用四维陷俘区域代替三维陷俘区域，进而消除了对于分层的依赖性。最后其给出的自然就是一个三维面。

第三个方程区分了陷俘视界和表观视界。以上是外向陷俘视界的定义，还存在内向的陷俘视界，定义为

除此之外，视界还包括孤立视界，弱孤立视界和动力学视界等。

弱孤立视界的定义是：

满足

是未来指向的因果矢量，并且

而动力学视界则是类空的临界陷俘曲面，例如一个处处类空的表观视界就是一个动力学视界.

Killing视界

下面介绍一类叫做Killing视界的性质很好的视界，当时空存在一个killing矢量场的时候，当killing矢量场在视界处类光，并且切于视界，那么这个视界叫做Killing视界。例如Schwarzschild时空下的事件视界，具有Killing矢量场

,它就是一个Killing视界。

Killing矢量场的存在可以极大的简化很多物理量的定义和推导，例如在黑洞热力学当中，Killing视界是最容易得到各种热力学定律和定义温度的情况。

Killing视界的表面引力定义为

Kodama矢量

Killing视界的热力学很容易就可以定义，一个最自然的问题是，对于时空中没有Killing矢量场的这种动态时空，是否可以得到类似的黑洞热力学。其中最关键的就是Kodama矢量的引入。

Kodama矢量具有和Killing矢量类似的性质，它的定义依赖于球对称性但是不需要是静态时空。因此在宇宙学这种度规中，具有重要作用。它于1980年由Kodama引入：

Kodama矢量位于(t,R)组成的二维面上，其中

代表

的体元。可以证明Kodama矢量具有两个性质

并且

其中

是爱因斯坦张量，可以证明

这个证明并不是直观能看出的，但是确实在没有类时的Killing矢量场的情况下可以通过Kodama矢量定义守恒荷，这叫做“Kodama奇迹”。

对于度规的ansatz为

的时候，Kodama矢量具有如下简单的情况

对于陷俘视界的情况，因为时空没有killing矢量场

,此时可以利用Kodama矢量来定义表面引力

另外一个等价定义的计算公式为

宇宙学时空中的视界及热力学

有了这些关于静态或者动态黑洞的视界介绍之后，为了更直观的理解动态时空中各种视界如何运用，需要选择一个最自然简单的例子来进行理解，最简单的莫过于FLRW宇宙了。一般的教科书中会着重介绍FLRW宇宙的粒子视界和事件视界，还有哈勃视界定义为1/H，这里不再赘述，这里着重论述FLRW宇宙的表观视界，因为FLRW宇宙是个含时间的度规，局域来看似乎表观视界更具有物理意义。

FLRW度规可以写作：

可以引入

的坐标变换将其写作conformal的形式，同样也可以作很多不同的坐标变换，将FLRW写成不同的形式，甚至可以写成类似史瓦西黑洞的形式，根据具体需要可以采用不同的坐标系进行讨论。这里我们只采用最原始的形式：

对于FLRW宇宙的一点，可以引入两个类光矢量

利用膨胀计算的公式

对于

也有类似公式，可以计算得到

表观视界位于

而

的地方，所以表观视界的位置是

和粒子视界和事件视界不同，表观视界不是一个类光面。其类时，类光，类空性质要依赖于

的状态参量w

表观视界的演化方程是

然后可以去看表观视界和陷俘视界之间的关系，陷俘视界多一个条件，要计算

当物质场是理想流体的时候

当

的时候，表观视界还是一个陷俘视界。它属于内向的陷俘视界。我们最后需要问的问题是宇宙学的表观视界是否同样具有热力学。首先需要研究的是是否可以定义温度，因为表观视界相应的是Kodama矢量可以给出表面引力的定义，根据

可以得到温度的表达式

这叫做Kodama-Hayward温度。表观视界具有霍金辐射也可以通过Parikh-Wilczek的量子隧穿的方法得到。

在宇宙学时空中可以引入功密度

和能流

选用Misner-Sharp-Hernandez能动张量的定义来表示表观视界内部的能量，把它作为内能的定义的话，MSH能量表示为

这样爱因斯坦方程可以重新写为

这个式子比热力学第一定律包含更多的信息，Hayward管它叫做unified first law. 考虑z是陷俘视界上的切矢量，将这个unified first law对于这个z方向进行投影的话，可以得到

因此unified first law投影之后可以写作

这个投影叫做表观视界的热力学第一定律，这个第一定律除了热传导之外，还包含有做功的项。

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