这篇文章,我们将介绍半单李代数的基本概念。下一篇或许会介绍半单李代数的表示。
很多“偏物理的李代数”在讲半单李代数时没有强调半单李代数是“某种复李代数”,这可能带来误解和困惑。
首先应该明确“实李代数”和“复李代数”的区别。比如当我们在谈“su(2)是紧致李代数”时,是指“su(2)是SU(2)的实李代数,且后者是紧致李群”。一个熟悉的例子是洛伦兹群,即SO(3,1),它是非紧致的李群,但是它的李代数的复化(complexification)和SO(4)的李代数的复化是一样的。所谓“复化”,粗略地说就是把数域换成复数域,并按最直接的方式定义新李代数的对易子。
关于复李代数当然还有很多问题可以问,比如给定一个复李代数,如何构造它的紧致实子代数,使其复化可以回到原来的复李代数,等等。我们给出一个大致的结论:对于矩阵李代数,总是可以做到;这种实子代数称为紧致实形式(compact real form)。
为了方便说话,我们只讨论所谓的可约化(reductive)李代数——存在紧致实形式的复李代数。
一个半单李代数是指一个“中心平凡”的可约化李代数。所谓中心平凡是指,不存在一个元素,它和所有其它元素对易。如果存在这样的元素,这样的元素被称为中心荷;即半单李代数就是指没有中心荷的、可约化的复李代数。
为了满足理论物理的需求,我们这里设对易括号为
有哪些李代数是半单的呢?特别地,紧致单连通李群的李代数的复化,是半单李代数。
半单李代数可以分解成单李代数的直和。这里单李代数是指没有非平凡理想,且维数大于2的复李代数。
所谓Killing form是定义在矩阵之间的内积——相乘再求迹。在李代数中,可对伴随表示矩阵定义如下“内积”:
Weyl群既可以只在李代数中引入,也可以在李群中引入。粗略地说,Weyl群描述了root之间的对称性。
参考
^参见GTM222 Theorem 7.23
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