导数的热点问题探讨
考情考向分析
利用导数探求函数的极值、最值是函数的基本问题,高考中常与函数零点、方程根及不等式相结合,难度较大.
考真题体
用导数证明不等式是导数的应用之一,可以间接考查用导数判定函数的单调性或求函数的最值,以及构造函数解题的能力.
总结:用导数证明不等式的方法
(1)利用单调性:若f(x)在[a,b]上是增函数,则①?x∈[a,b],则f(a)≤f(x)≤f(b)②对?x1,x2∈[a,b],且x1x2,则f(x1)f(x2).对于减函数有类似结论.
(2)利用最值:若f(x)在某个范围D内有最大值M(或最小值m),则对?x∈D,则f(x)≤M(或f(x)≥m).
(3)证明f(x)g(x),可构造函数F(x)=f(x)-g(x),证明F(x)<>
方程的根,函数的零点,函数图象与x轴的交点的横坐标是三个等价的概念,解决这类问题可以通过函数的单调性,极值与最值,画出函数图象的走势,通过数形结合思想直观求解.
方法总结:
(1)函数y=f(x)-k的零点问题,可转化为函数y=f(x)和直线y=k的交点问题
(2)研究函数y=f(x)的值域,不仅要看最值,而且要观察随x值的变化y值的变化趋势.
生活中的实际问题受某些主要变量的制约.解决生活中的优化问题就是把制约问题的主要变量找出来,建立目标问题即关于这个变量的函数,然后通过研究这个函数的性质,从而找到变量在什么情况下可以达到目标最优.
方法总结:利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤
(1)建模:分析实际问题中各量之间的关系,列出实际问题的数学模型,写出实际问题中变量之间的函数关系式y=f(x).
(2)求导:求函数的导数f′(x),解方程f′(x)=0.
(3)求最值:比较函数在区间端点和使f′(x)=0的点的函数值的大小,最大(小)者为最大(小)值.
(4)作答:回归实际问题作答.
押题依据 函数的单调性、极值、最值是导数的典型应用,不等式证明体现了转化与化归的思想,是高考的必考点.
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