【摘 要】大概念内涵丰富、形式抽象，对学生的数学学习具有重要的意义和价值。大概念包括核心概念和共通概念，主要有金字塔型、树状型以及网络型三种。作为教师，要引导学生建构大概念、理解大概念、应用大概念、迁移大概念，应用大问题驱动、大主题统领、大结构整合等方式，助推学生的数学学习。
【关键词】小学数学 “大概念”教学 教学路径
大概念不僅表现为概念的外延广，更表现为概念的内涵深。大概念不同于数学学科中的概念，而是一种认知框架。大概念具有整合作用，并能将学生数学学习的相关内容进行有效迁移。在教育学的历史上，大概念的提出可谓久远，如布鲁纳的“基本概念”“一概念”、奥苏贝尔的“要领概念”、怀特海的“惰性概念”等[1]。在数学教学中，大概念具有统摄作用和功能，它能统摄很多的小概念。一般来说，大概念具有广泛的迁移性、普适性等特性。在数学教学中，教师要研究大概念，充分地应用大概念，借助大概念落实数学学科的育人价值。
一、数学大概念内涵及外延
大概念是指“适用于解释、预测较大范围的学科知识的一些概念”。数学大概念具有较高的抽象性，它兼有方法论、认识论的意义。大概念具有中心性、网络性的特质。换言之，大概念集中体现了数学知识的学科本质。在数学学科教学中，大概念不同于具体的概念，它包括概念、观念、论题等。大概念还具有一种层次性、相对性的特质，从大到小、从高到低依次可以分为课程大概念、学段知识大概念、单元大概念、章节大概念、课时大概念等。
大概念一般来说包括两个层面的内容：其一是核心概念，其二是共通概念。核心概念是指“学科知识中发挥关键作用的一些概念，这些概念往往是学科的基石，它们能将相关的知识集结在一起”。在数学教学中，引导学生把握了核心概念，就能让学生把握数学学科知识。共通概念是指“跨越学科乃至于跨界的一些共同概念”，这些概念具有较强的解释力[2]。比如“只有计数单位相同才能直接相加减”这样的一种大概念就属于核心概念，是集中体现整数、小数、分数加减法的法则的核心概念，掌握了这一核心概念，学生就能形成一种整数、小数、分数加减法的计算自觉，如整数中加减法的末尾对齐、小数加减法的小数点对齐、分数加减法中的通分等。而分类、统计中的归类思想就属于一种共通的概念，这一概念不仅对学生的数学学科学习，而且对学生的其他学科学习乃至于生活都具有深刻的意义，这一数学大概念是物以类聚、人以群分这样的生活性、经验性的大概念在数学学科中的具体反映。
概念不仅仅是学生数学学习的载体、媒介，也是学生数学思维、探究的工具。概念不仅具有数学的逻辑价值，更具有一种组织学习的价值。在学生学习的每一个阶段、每一个层级，大概念都会不同。在此阶段的大概念，在彼阶段就不是大概念，而是一个子概念、分概念，一个普通的、简单的概念。从某种意义上说，学生的数学学习就是大概念的产生、消散，又诞生的过程。
二、数学大概念的结构及其功能
大概念是一种深层次的、可迁移的概念。借助于大概念，学生在数学学习中能触类旁通、举一反三。大概念能让学生系统地、广泛地吸纳知识，快速、有效地应用知识。在数学教学中，教师要善于提炼、抽象、概括大概念，借助大概念引导学生的数学学习。
1.金字塔型结构及其功能
金字塔型的大概念群最为常见。位居金字塔塔尖的概念是最为核心的概念，在核心概念统驭下，逐层展开其他概念。这样的一种大概念结构方式，是一种“总—分”式的结构方式[3]。比如“直柱体的侧面积、体积计算”，具体到下一层级的长方体、正方体、圆柱体的侧面积、体积计算公式的形态各不相同，尽管其内在的本质是相同的。作为教师，可以通过两种方式进行这部分内容的教学：其一是从大概念出发，引导学生从整体上形成对直柱体侧面积、体积的认识，然后再逐一展开建构，这是一种自上而下的诠释性、应用性的教学;其二是先建构，然后引导学生比较，逐步抽象、提炼、概括出数学的大概念，这是一种自下而上的建构性的教学。
2.树状线型结构及其功能
树状线型的概念结构有助于学生依循数学知识的内在逻辑结构、脉络等逐步推演。与金字塔型的大概念结构不同，树状线型结构是概念在形成过程中逐步生长出来的。以“平面图形的面积”为例，通常以长方形、正方形的面积为基础，引导学生逐步推演出平行四边形的面积、圆的面积，再根据平行四边形的面积推导出三角形的面积、梯形的面积等。在这一过程中，长方形的面积是主干，其他相关知识多是枝叶;或者说长方形的面积是基本型知识，而其他相关知识都是导出型的知识。在这里，数学的大概念（相对而言）就以一种生长的方式呈现，从而形成了一种树状线型的概念生长体系。
3.网络联型结构及其功能
大概念还有一种建构模式，这就是网络型。相比前两种大概念的组型，网络型的大概念往往在概念内涵、外延、性质等方面都会有交叉。网络型大概念的组建，能让学生认识到概念之间的多重关联。为此，在数学教学中，教师要打破固化的单元结构，形成以大概念为核心的开放性、生成性结构形式。以“因数和倍数”这一部分内容为例，从“整除”这一主干大概念出发，会衍生出相关的“因数和倍数”，进而在“因数和倍数”的基础上，又会交叉衍生出“奇数和偶数”（根据是否是2的倍数）、“素数与合数”（根据一个数的因数的个数）、“公倍数与公因数”（由一个数的因数、倍数衍生为两个或者两个以上的数的公倍数、公因数等）等相关概念，这些概念之间是可以交叉的。如一个数是否是质数与一个数是其他数的因数，交叉衍生出“质因数”这一概念。在网络联型概念结构中，交叉的概念可以成为大概念。作为教师，要重点引导学生对交叉概念的理解。如在“因数和倍数”这一部分知识中，“质因数”就是一个关键性、核心性的大概念，它纵横交错地牵涉到许多相关的知识点，对学生学习“对一个数分解质因数”“应用短除法求几个数的公因数、最大公因数、公倍数、最小公倍数”等具有重要作用。
以大概念为导向，统筹规划数学教学，要求教师明确数学知识的大概念类型。对于金字塔组型概念，教师要引导学生认识核心概念的内涵、本质;对于树状组型概念，教师要引导学生掌握基本大概念，把握概念的生长;对于网络联型概念，教师要引导学生把握概念之间的关联，等等。
三、数学大概念教学的策略
基于大概念的數学教学，教师在教学中要善于提炼大概念、实践大概念，促进学生在数学学习中不断实现概念的跃迁。
1.大问题驱动，激发学习动力
问题是大概念教学的重要载体。在小学数学教学中，教师可以用大问题驱动学生的自主思考、探究。用大问题驱动，能有效地引领学生自主学习[4]。在大概念教学之中，大问题犹如一个结构性枢纽，能成为驱动学生深度学习的利器。比如教学“真分数和假分数”这一部分内容，教师要深度研究学生的具体学情，把握学生的认知障碍，从而设计有针对性、实效性的大问题，引导学生的数学学习。如果教师仅仅从形式上引导学生区分，比如“分子比分母小的分数是真分数”“分子比分母大的分数是假分数”等等，这样的一种引导，只能让学生抓住“形”，而难以让学生理解“神”。笔者在教学中，引导学生从分数的意义入手，将过去的一种表达——“取其中的几份”，转变为“表示这样的几份”。如此，提出这样的大问题：“平均分的份数一定大于表示的份数吗？”通过这样的大问题，引导学生思考：“如果平均分成4份，你能从中取出5份吗？如果平均分成4份，你能表示出相应的5份吗？”如此，不仅引导学生深度思考、探究“单位'1’的量”，更突出分数单位的意义和价值，进而引导学生深度理解分数的本质，建构真分数和假分数的概念。抓住大问题，引导学生建构大概念，就能将学生的数学思维逐步引向深入。
2.大主题统领，集约学习内容
主题是学生数学大概念学习的载体、媒介。在小学数学教学中，教师应当积极主动地设计主题，用主题统驭学生的数学学习统整相关的数学学习内容。用大主题统领，要打破单元边界、学科边界等，引导学生从教材中的目录、标题中发掘、提炼主题，从不同层次引导学生提取大概念。比如在学生学习了“认识厘米”“角的度量”“长方形的面积”“长方体的体积”等相关内容之后，笔者以“测量中的包含除”为主题研发了一节课，将相关测量内容进行整合。借助于大主题，不仅能引导学生整合相关知识，而且能引导学生习得相关的学科思维方法、思想观念等。比如通过“包含除”这样的大主题，学生深刻认识到，测量的本质就是看测量对象中包含有多少个测量单位。因此，对测量来说，首先应当建立测量标准、测量单位;其次要探究测量对象中包含有多少个这样的测量单位，这个“多少个”其实也就是两个不同的量之间的进率。根据这样的进率还可以制造工具，或者建立进率模型等。借助于大主题，学生通过积极的对话、研讨，将整数、分数、小数、百分数等在内的所有计数教学，以及平面图形的周长、面积，立体图形的侧面积、体积等相关内容都囊括在内，因为它们都可以用“包含除”这一思想方法解决问题。
3.大结构整合，建构学习体系
基于大概念的数学学习，是一种大结构的数学学习。大结构就是要将学生数学学习的相关内容进行整合，从而帮助学生建构学习体系，让学生的数学学习成为一个整体。比如教学“比的基本性质”之后，教师有必要引导学生建构知识结构，从而促进学生对知识的理解、应用。从横向上来看，引导学生比较“商不变的规律”“分数的基本性质”“小数的性质”以及“比的基本性质”，认识它们的联系与区别，体会到它们内在本质的一致性;从纵向上来看，引导学生认识它们各自的意义、作用和价值。以“比的基本性质”的纵向结构化教学为例，教学中，教师不仅要引导学生认识比的基本性质的作用是化简比，认识化简比的依据是比的基本性质，化简比要充分地应用比的基本性质，要将一般性的整数比、小数比、分数比、数量比等化成最简单的整数比的形式（简称“最简比”）等，更要引导学生认识化简比的现实作用，如各种物质材料的份额的配备、一件物品中各种材料所占的份额，等等。通过纵横比较、整合，引导学生建构数学知识大结构，从而明确“商不变的规律”“分数的基本性质”“比的基本性质”等系列大概念的内涵、用途、功能。
大概念视野下的数学教学，是立足于结构论、系统论的视角来审视知识的。作为教师，要立足于数学的学科知识，从数学学科知识和学生数学素养生成发展的视角出发，重构数学知识与相关大概念的关联、对接等。基于大概念的教学立场，教师应当引导学生把握数学学科内容的本质、核心，促进学生数学学习力的提升、数学核心素养的发展，引导学生数学问题分析、解决、迁移等能力的发展。
【参考文献】
[1] 威金斯，麦克泰格.追求理解的教学设计[M].闫寒冰，宋雪莲，赖平，译.上海：华东师范大学出版社，2012：.
[2] 吕程，王凌.概念域：数学概念教学的应有视角[J].教学与管理，2019（08）：27-29.
[3] 刘兆伟.小学数学教材的合理改造[J].教学与管理，2020（02）：54-55.
[4] 彭国庆.小学生数学推理能力的分析与培养[J].教学与管理，2021（14）：38-39.
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