美妙数学天天见
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亲爱的同学，你好！我是朱乐平数学名师工作站的许玉燕老师，来自宁波市四眼碶小学。
今天与你分享的内容是：面积图趣解行程问题。
美美，我在上学途中发现了一个有意思的问题：如果我走得越快，上学路上所花的时间就越短；反之，我走得越慢，上学路上所花的时间越长。
这个问题我早就研究过啦，其实就是行程问题中的数量关系呢！你走路的快慢就是指行程问题中的“速度”，路上所花的时间就是行程问题中的“时间”，而你家到学校的距离就是指行程问题中的“路程”。这三者之间存在如下关系：
美美说的对！不过，你们知道吗？行程问题和长方形面积的计算基本关系式之间也有很密切的联系呢！
这……我不太明白！
你们看，“速度×时间=路程”和“长×宽=长方形面积”，它们的实质都是 因数×因数＝积，所以在解答行程问题的时候，我们还可以通过画面积图，利用其边长与边长、边长与面积、面积与面积的关系，比较计算，从而能形象而又直观地找到解题的突破口。
爷爷，听您这么说我更糊涂啦！您能举个例子来给我们讲讲吗？
呵呵呵，好吧！就拿你来打比方吧！
行程问题一：
天天去上学，他发现他每分钟走的米数，和到达学校时间的分钟数恰巧相同。并且，他计算了一下，如果每分钟多走12米，时间就减少10分钟。你知道他家到学校的距离是多少米吗？
这题目太难了，我无从下手啊！
不急不急，我们先来画个图来理解一下吧。
首先，设AB为天天上学每分钟的速度，BC为他到校的时间，据题目信息，正方形ABCD的面积即可表示他家到学校的距离。如果每分钟多走12米，时间就减少10分钟。长方形BEFG的面积也表示他家到学校的距离。
其次，由于图中正方形的面积和长方形的面积相等，可知，长方形AEFH的面积也和长方形GHDC的面积相等（图一）。
然后，把EF延长至I，使其等于正方形的边长BC，再连接ID（图二），则长方形AEID与长方形GHDC的长边同为正方形ABCD的边长。
求出：长方形AEID面积-长方形GHDC的面积: 12×10＝120（也即是长方形FHDI的面积）（图三）；
正方形ABCD的边长=120÷（12-10）=60
正方形ABCD的面积=60×60=3600
所以，他家到学校的距离是3600米。
详细的解题过程可以看看视频解说哦！
原来用面积图还能来解“行程问题”，这个方法太巧妙了！爷爷，您好厉害啊！
对了，我以前还碰到过一道关于行程的问题，能不能也用画面积图的方法来解决呢？
行程问题二：
从甲地到乙地，火车原来每小时90千米的速度需12小时到达，现在提速后，每小时比原来多行驶30千米，可以提前多少小时到达？
我们一起来画一画，试一试吧！
小朋友，别急着往后看，请你也来动笔画一画吧。
小朋友，你解决这个问题了吗？
经过天天和美美的苦思冥想，他们终于利用画图独立解决了这个问题。让我们一起来看看他们是怎样想的吧！
图中AB＝90千米，AD=12小时，那么长方形ABCD的面积表示按90千米/小时，12小时所行驶的路程情况；
BH＝30千米，长方形AHGE的面积表示提速后行驶的的路程情况，将这两个都表示从甲地到乙地的路程的长方形重叠，AE是实际行驶的时间，FC则表示提前时间。
长方形ABCD的面积＝长方形AHGE的面积＝90×12＝1080。
可知 AE＝1080÷（90＋30）＝9
即实际需要行驶9小时。
所以 FC＝AD－AE＝12－9＝3
即可以提前3小时到达。
天天、美美，你们真是太了不起了！小朋友，你是否也能像他们一样独立解决这个问题呢？也可以把你的想法介绍给你的爸爸妈妈听，他们一定会为你竖起大拇指的！
小结
利用面积图来解行程问题的关键是找到量与量之间的对应关系，把行程问题中的“速度”、“时间”、“路程”分别对应“边长、边长、面积”，从而把行程问题转化成面积图直观地呈现出来，对比前后两次行程中数量的变化，从而寻找问题的“突破口”。
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审核：张君霞、李骐竟
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