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听一听：数学学习中的直觉与误解
读一读：除数是两位数的除法，简单？不简单？
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轻轻松松听听书
计算的本质是推理
——《小学数学这样教》第六章
（郜舒竹著）
坚持阅读八分钟
除数是两位数的除法，
简单？不简单？
《义务教育数学课程标准》（2011年版）中要求：学生在第二学段要能计算“三位数除以两位数的除法”。这个内容说简单也挺简单的，学生基本上“一听就会”；说不简单也真不简单，因为有学生常常“一做就错”。我们总以为计算教学是比较容易的，其实不然。
一、教材比较分析
笔者选择了人教版和浙教版教材，来看看这两种教材是如何编排这部分内容的——
人教版教材所有的例题都是纯计算题，每道题都精心选择，含有很多细腻的计算技巧，由简到难、循序渐进。人教版教材重视练习巩固，共有6节练习课及时跟进，这样的编排利于学生熟练掌握计算技能，学得扎实。但学生在近三周的时间里除了计算还是计算，他们会觉得数学学习是很有意思的吗？
浙教版教材与人教版有很大的不同：
1、除数是整十数的除法，人教版放在“商不变性质”之后，显然是根据商不变性质来计算的；但浙教版放在了三下，作为四上学习的知识铺垫。
2、浙教版四上教材中第一节课学的是商是两位数、没有余数的除法（945÷45、945÷32）；而人教版把这个内容安排得比较后边（例6：576÷18、940÷31），并包含了有余数的情况。
3、人教版的例题是纯计算题，没有情境的介入；而浙教版有具体情境，由解决问题为切入点。
最让人疑惑的是第二个区别：商是两位数的除法放在前面教，真的可行吗？笔者查阅了浙教版四上的教学参考书，书中记录了张天孝老师的研究，请见下面两张表格：
首先要说明一下64800题是怎么算出来的：被除数是所有的三位数（从100到999），共900个数；除数不包括十几的数，21—99，并去掉了整十数，共有72个两位数，900×72=64800。
我们可以从表中看出，无论是“首位试商”还是“四舍五入试商”，商是两位数的除法的初商正确率均高于商是一位数的除法。张老师通过研究认为：商是两位数的除法相对更容易些。
那么，学生会这样想的吗？
二、学生学情调查
9月1日，我们对使用浙教版教材的杭州上城区某校294名学生进行了学情调查，学生需要完成六道题的列竖式计算。为避免学生有思想负担，做题可不署名，且时间不限定。
以下是测试题目与统计结果——
①、②两题学生已学过，正确率超过90%是正常的；③、④、⑤是这个单元的学习内容，正确率相当高了（教参要求学生经过学习，正确率要努力达到90%）；④、⑤两题的正确率已经接近90%，而第③题的正确率非常高，接近97%。说明把商是两位数、没有余数（三位数除以两位数）的题目放在前面教学是完全可行的。
在设计测试题时，我们已预想到多数学生会做三位数除以两位数，所以又补充了第⑥题：四位数除以两位数（说实话，这已经超出了课标的要求），我们只是想知道学生能走到哪里。六成的正确率与前面几道题相比，是低了许多。可能这样的难度才能暴露一些问题，引发思考。
学生会错在哪里呢？我们把错因分成两大类：算理不清（商的定位有问题）、计算失误。
算理不清——
商的定位是一个难点，即便是学过的除数是整十数的除法，也有学生弄不清楚，把首商写在百位上。原因在于学生对算理不够清晰。
计算失误——
我们可以从上面的错误中，看出计算题的数据对学生的影响还是很大的（98乘几的口算要求过高，而学生又不愿意打草稿），乘错、减错、除错都有。有意思的是，如果除数和商的乘积与被除数的个位相同，有学生会不顾事实（即便检查出原来算错了），作出余数为0的误判。（见最后一图）
三、对教学的启示
学生的学情调查对教学有什么启示呢？
1、算理的理解比算法的记忆更重要
在除数是两位数的除法的教学中，一定要强调算理，也就是要强调商的定位。我们在课堂上常常对“口诀”念念不忘，比如：“除数是两位，先看前两位（被除数），两位不够看三位，除到哪位商哪位。”也许，对能力较弱的学生有一定用处，但“计算的本质是推理”（郜舒竹语），而不是让学生简单地记住算法。
2、正确认识学生的迁移能力
何为“正确认识”？即不轻视、不高估。不轻视学生的迁移能力，教师才能相信学生自己可以尝试计算，可以讨论存在的问题。能否将学习内容合理整合，压缩练习题量与练习时间，真正做到精练、桥练，课内减负。
我们也不可高估学生的迁移能力，适当补充一些四位数除以两位数的题（比如1260÷12），对学生出现的错例加以分析讨论，不可完全放手。
3、重视计算的基础训练
要重视两位数乘一位数的口算，这个过程可以贯穿在整个三年级，不要追求速度，只强调正确率，对学有余力的学生可引导其从高位算起。无论是除数是两位数的除法，还是两位数乘两位数、三位数乘两位数，这都是重要的计算技能。
如何强调算理？
浙教版教材是用问题情境引入的，把计算与实际生活中的路程、速度、时间的数量关系联系在一起。
在出示并解读了问题后，可由学生独立列式并尝试计算。但在讨论交流时，一定要重点问学生：“2”为什么写在商的十位上？我们希望学生能明白，第一步算“94÷45”，这里的“94”代表的是“94个十”，94个十除以45，最多得到2个十，所以“2”要写在商的十位上。当然，现实中的学生回答会更多样更精彩，有学生说：“如果2写在商的百位上，就是200，200×45=9000，远远大于945了。”
另外，教师可追问：竖式中的“90”、“45”是怎么来的，希望学生明白：“90”是“2个十乘45得到的90个十，只是省略了个位的0”，“45”是“1乘45得到的。”
如何进一步提升思维含量？
让学生比较两个部分积的大小，进一步明细每个部分积是怎么来的。
当除法竖式中一个具体的数都没有时，学生来判断两个部分积A与B谁大，就变成一个抽象的问题了。学生要通过推理来得到正确的答案。上图中学生的回答思路非常清晰，表达也很棒。
四、其他的话
除数是两位数的除法（三位数除以两位数），可以说是整数除法中最难的学习内容了。学生掌握算法并不难，算法“一听就会”，但真做起来很容易出错。但反复操练又容易引起学生的反感，所以，如何让计算课变得有意思是非常重要的。而让学生感到“有意思”，就得有一些思维上的挑战，让学生“跳一跳”能够“摘得到”。
在斯苗儿老师看来，计算教学不急于介入情境，避免干扰；学生要掌握“通法”，而不是具体的计算技巧。她建议：让老师和学生们各找十道容易错的题目，然后花一点时间来讨论，为什么这些题容易错？学生再对照老师的题，看看与自己找的题有没有不一样的地方？把算理弄清楚后，练习时就采取竞赛的方式，每天评出“计算小能手”，张榜激励。无论如何，教师要考虑的是：如何在保证教学质量的同时，让学生保持学习数学的兴趣。
让学生乐学、会学，是每一个老师应该思考并努力实现的目标。
你若盛开 蝴蝶自来
审核人：孙旻晗 施娇娥
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