引用格式：郑毓信．“数学深度教学”的理论与实践[J]．数学教育学报，2019，28（5）：24-32．
郑毓信
（南京大学 哲学系，江苏 南京 210093）
郑毓信（1944—），男，浙江镇海人，教授，博士生导师，国际数学教育大会（ICME-10）国际程序委员会委员，主要从事数学哲学、数学教育研究．
关键词：数学深度教学；通过数学学会思维；联系；问题引领；交流与互动；学会学习
中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1004–9894（2019）05–0024–09
研究首先借助“（数学）深度学习”对“数学深度教学”的涵义做出分析，因为，在这两者之间显然存在重要的联系，特别是，应将帮助学生学会“深度学习”看成“深度教学”的一个重要目标．研究将集中于“深度教学”的实践性分析，因为，如果教师未能做好“深度教学”，学生自然也不可能真正做到“深度学习”．这主要包括：理论的直接教学涵义，此外还应特别重视这样4个环节：（1）联系；（2）问题引领；（3）交流和互动；（4）努力帮助学生学会学习．
1从“深度学习”到“深度教学”
1.1 “深度学习”的基本涵义
从数学教育的角度看，“深度（层）学习”不能说是一个全新的概念，因为，这是人们关于数学学习的一项共识，即是应当切实避免学习的肤浅化、浅层化．也正因此，就可通过相关现象的分析对作为其直接对立面的“深度学习”做出初步界定．
以下就是“（数学）浅度学习”的一些具体表现．
（1）机械学习，即主要依靠死记硬背与简单模仿学习数学；这并可被看成这样一种教学方式的直接后果：相关教师在教学中完全不讲道理，也不要求学生进行理解．
由于后一做法在美国小学数学教学中经常可以看到，因此人们常常将此称为“美国式教学”．由中国旅美学者马立平博士的著作《小学数学的掌握和教学》就可看到这方面的不少实例．
当然，相关表现又非仅限于美国．例如，尽管以下做法不能简单地被归结为“机械教学”，但仍然会对这一倾向起到推波助澜的作用：教师在教学中往往自觉或不自觉地强调这样一点：不管你是怎样想的，也不管你是如何做的，只要做得对、做得快，就是好的，就能得到表扬！
（2）“机械学习”在计算法则的学习中较为常见，但几何学习也不能幸免，即如相关认识始终停留于所谓的“直观几何”，也即概念和图形的直观感知，却没有认识到必须超越直观更深入地去研究各个图形的特征性质与相互联系．这事实上也正是von Hiele何以将“直观”列为几何思维发展最低一个层次的主要原因．
（3）这也是“浅度学习”的一个重要表现，即是满足于数学知识与技能（经验）的简单积累，却没有认识到还应将它们联系起来加以考察，从而建立整体性的认识．应当强调的是，这种“知识碎片化”的现象并就是与数学的本质特点直接相违背的，因为，作为“模式的科学”，数学并非具体事物或现象的直接研究，而应致力于“模式的建构与研究”，这也就是指，后者不仅是抽象思维的产物，也意味着认识达到了更大深度，因为，模式反映了一类事物或现象的共同特征；再者，这也是数学发展的重要特征，即是通过更高层次的抽象达到更大的认识深度．
由此可见，如果学生关于“搭配问题”“握手问题”“植树问题”的学习始终停留于相关的现实情境，就都是一种“浅度学习”，因为，数学学习必须“去情境”，也即由特殊上升到一般．
总之，这是数学学习必须纠正的一个倾向，即是不讲理解，或是完全停留于日常经验与直观感知．
上述的分析显然也已表明：“浅度学习”在不同的社会文化背景和不同的时代可能具有不同的表现形式．对此，在以下将联系新一轮课程改革做出进一步的分析，从而更清楚地说明强调“深度学习（教学）”的重要性．另外，对于以下现象无疑也应给予高度的重视：随着校外补习的盛行，相关情况似乎有所恶化，因为，这正是后者的普遍特点，即是只讲结论与算法却不讲道理，也正因此，很多接受了此类补习的学生看上去已经懂了，也能正确解答相应的“常规性问题”，但却很难被看成已经达到了真正的理解．
以下就是这样的一个实例．
例1 丁玉华，“‘三角形内角和’一课的实践与思考”（《小学教学》，2018年第9期）．
师：关于三角形的内角和，你们已经知道了什么？
生：三角形的内角和是180度．
（全班没有一个不举手的，回答问题时还“得意洋洋”）
师：你们都认为是180度？（所有学生点头）我不信！
师：（课件出示图1，接着出示图2）请看大屏幕，这两个三角形的内角和分别是多少度？
图1 三角形内角和（一）
图2 三角形内角和（二）
生：都是180度．
生：三角形不管什么形状，不管多大多小，内角和永远都是180度．（全班学生依旧“自信满满”．）
师：（出示图3）继续看大屏幕，如果在下面的三角形中添一条线，将它们分开，现在这两个小三角的内角和分别是多少度呢？
（有的学生说90度，瞬间又改口说180度；也有学生说180度，但显然“口气不硬了”．）
图3 三角形内角和（三）
师：（出示图4）每个小三角形的内角和是多少度？把这两个小三角形拼成一个大三角形，所得大三角形的内角和是多少度？
（有的学生说360度，瞬间又改口说180度；也有学生说180度，显然犹豫不定．）
图4 三角形内角和（四）
综上可见，这是“深度学习”的基本涵义，即是数学学习一定要讲理解，并很好实现对于日常经验与直观感知的必要超越．对此并可称为“深度教学”的1.0版．
1.2 “深度学习”的现代诠释
除去立足数学教育进行分析以外，现今对于“深度学习”的提倡还有更加广泛和深刻的原因，这并导致了“深度学习”更重要的一些涵义，这就是“深度学习”的2.0版．
在此主要提及这样几个方面．
（1）正如人们普遍认识到了的，人工智能的研究是促进“深度学习”十分重要的一个因素：“随着人工智能的快速发展，深度学习成为近几年的热点之一．”例如，“阿尔法狗”战胜顶级国际象棋大师的事实就使人们深切地感受到了“自我学习”的重要性，包括什么应被看成“智能”的本质：是知识与技能，还是较强的学习能力？
（2）人类社会的巨大变化与不同要求．以下是美国普里策奖三度得主弗里德曼在《谢谢你迟到——以慢制胜，破题未来格局》一书中提出的主要观点．
这是社会变化对教育的最大影响：“随着流动的速度加快，它会渐渐掏空过去给我们带来安全和财富的存量知识．”“你在学校里学到的那些知识，可能你还没有出学校的大门，就已经变得过时了．”我们必须“重新思考我们的学生究竟需要哪些新的技能或态度，才能找到工作、保住工作”，并过上快乐的生活（第115页、导读、190页）．
具体地说，必须牢固树立终身学习的思想，切实提高自身在这一方面的能力：“你必须知道更多，你必须更加频繁地更新知识，你必须运用知识做更多创造性的工作，而不仅仅是完成常规工作．”（第185页）其次，我们又应特别重视长时间的思考与反思：“世界变化得越快……对我们生活方方面面改变得越多，每个人就越需要放慢速度……当你按下一台机器的暂停键时，它就停止运转了．但是，当一个人给自己暂停一下的时候，他就重新开始了．你开始反思，你开始重新思考你的假设前提，你开始以一种新的角度重新设想什么是可能做到的，而且，最重要的是，你内心开始与你内心深处最坚定的信仰重新建立联系……”（简体中文版序）再者，还应清楚认识合作的重要性：“到了21世纪，我们大部分人将与他人一同协作，相互提供服务……我们必须意识到，工作的固有尊严来自人与人的关系，而非人与物的关系．我们必须意识到，好的工作就是与他人沟通交流，理解他们的期许与需求……”（第215页）
（3）在此还可特别提及2009年诺贝尔经济学奖得主康纳曼（D. Kahneman）的这样一部著作：《快思慢想》（Thinking, Fast and Slow，Penguin Books，2011）．具体地说，按照康纳曼的研究，人类思维的主要特点就是“快思”占据主导地位，从而就可被看成“日常思维”的基本形式；但是，尽管这种思维形式对于人类生活与工作具有十分重要的作用，但又常常会导致若干系统性的错误，从而造成严重的消极后果．也正因此，这就是人类面临的一个重要任务，即是努力改进自己的思维，特别是学会“长时间的思考（慢思）”．（详可见文[1]）
（4）依据上述分析可更好地理解教育的现代发展，也即为什么要将努力提升学生的核心素养看成教育的主要目标．
那么，究竟什么又是上述发展对于更好理解“深度学习”的主要启示呢？（对此并可见文[2]）
第一，作为“思维的科学”，数学与其它学科相比显然更加有益于学生思维的发展，应明确提出这样一个任务：数学学习不应停留于各种具体的数学知识和技能，而应更加注重“通过数学学会思维”，后者并集中反映了“努力提升学生核心素养”这一思想对我们的启示，即是应当由帮助学生“学会数学地思维”转向“学会思维”，包括努力提升自身的思维品质．
第二，依据数学本身的特点并可对此做出进一步的解读：“通过数学学会思维”主要是指逐步学会更清晰、更深入、更全面、更合理地进行思考，并能努力提升思维的整体（综合）性与灵活性、自觉性与创造性等．由于认识的模糊性、浅薄性、片面性与随意性（任性）等正是现代社会的普遍性弊病，也就更加清楚地表明了“深度学习”的现实意义．
还应提及的是，这事实上也是不少人士的亲身感受，即是数学特别有益于人们思维品质的提升．如著名哲学家维特根斯坦就曾明确提及数学学习对其整个学术生涯的重要影响，特别是思维的清晰性：“凡是能说的就要说清楚，说不清楚的则应保持沉默．”另外，中国著名数学家姜伯驹先生在接受采访时也曾明确提到：这是数学带给他的最大收益，即是学会了长时间思考，而不是匆忙地去处理问题．
第三，还应努力改变总是按照别人（包括书本）的指引进行学习和思考这样一个习惯，即是应当真正学会思考、学会学习．
第四，对于上述要求并可统一归结为“深度学习”，因为，达到更大的思维深度正是实现这些目标的共同关键．
另外，从上述角度也可更好地理解一些相关的主张．例如，所谓“长时间的思考”，主要地就不是指思维时间的长短，而是思维的深度，也即如何能够通过较长时间的思考达到更大的思维深度；另外，对于“反思”也不应简单地理解成“自我纠错”、或是单纯的“事后反省”，而是指这样的习惯和能力，即是能够适时“中止”正在从事的活动（包括实际操作与思维活动）进行更高层面的思考，包括通过新的抽象达到更大的认识深度．后者也正是人们何以将数学抽象称为“反思性抽象”的主要原因．
综上可见，“深度学习”不只是数学教育的内在要求，也即对于“浅度学习”的必要纠正，更是现代社会与教育整体发展，也即时代对于数学教育的更高要求．
1.3 走向“深度教学”
上述分析显然也为应当如何理解“（数学）深度教学”提供了具体解答：数学教学必须超越具体知识和技能深入到思维的层面，由具体的数学方法和策略过渡到一般性的思维策略与学生思维品质的提升，还应帮助学生学会学习，真正成为学习的主人．在此还应特别强调这样几点．
（1）依据“深度教学”的涵义也可更好地认识“（数学）浅度教学”在当前的另外一些表现形式．
例如，新一轮课程课改中围绕教学方法所曾一度出现的形式主义盛行，事实上就可被看成一种“浅度教学”．
具体地说，除去前面已提及的对于“情境设置”的不恰当强调、乃至在一定程度上忽视了“去情境（模式化）”这样一点以外，以下一些做法显然也可被看成这方面的又一实例，即是“为合作而合作”“为讨论而讨论”，尽管课堂上十分热闹，但对大多数学生而言却又很难说有多少真正的收获，甚至还影响到了部分学生的独立思考．
再则，按照上述分析，如果在教学中仅仅注意了学生对于具体数学知识或技能的掌握，却未能更加重视如何能够促进学生积极地去进行思考，这也就应当被看成“浅度教学”在当前的又一重要表现．
由于“学数学，做数学”这一思想在数学教育领域内具有十分广泛的影响，“问题解决”更可被看成数学教育的一个持续热点，以下围绕“数学活动”对此做出进一步的分析．
首先，相信很多教师一看到“数学活动”这样一个字眼就会立即想到“动手实践”，如教学中让学生直接动手去画、去折、去剪、去量，等等；但从促进学生思维发展的立场进行分析，显然就应引出这样一个结论：数学教学决不应单纯强调学生的“动手”，而应更加重视如何以“动手”促进学生积极“动脑”．
对于这里所说的“动手”并应作广义的理解：这不仅是指具体的实物操作，也包括各种数学运作，如数学计算等．例如，这事实上就应被看成上述片面性的一个具体表现：在实际从事计算前学生并没有认真思考为什么要进行相关计算，从而就很容易出现如下的“盲目干”现象：尽管相关计算取得了某些结果，但对解决面临的问题没有任何作用．
总之，这是数学教学应当切实纠正的一个现象：学生一直在做，一直在算，一直在动手，但就是不想！
其次，这也是对于“数学活动”的片面性理解，即是将此简单地等同于“问题解决”．因为，数学活动不仅包含其它一些重要形式，特别是“概念的生成、分析与组织”，在解题活动与内在思维活动之间也存在十分重要的联系，即如应当使用怎样的解题方法？又如何能对得出的结论做出必要的论证，以及结论与方法的适当推广与必要优化等．总之，就只有围绕这些问题深入地进行思考，相应的解题行为才能被看成真正的数学活动，这事实上也已由单纯的“问题解决”过渡到了“数学地思维”．
与此相对照，如果缺乏清醒的认识，那么，即使是“问题解决”的简单实践也可能出现各种各样的弊病．例如，以下就是美国数学教育界在“问题解决”这一改革运动中的一个普遍现象，即是教学中学生们（甚至包括教师）都满足于用某种方法（特别是观察、实验和猜测）求得了问题解答，却没有认识到还应做进一步的思考和研究，甚至都未能对所获得结果的正确性（完整性）做出必要的检验或证明．
进而，显然也可从同一角度对现实中可以看到的其它一些做法做出分析，如通过组织学生参与各种他们感兴趣的游戏，包括“看绘本”“演戏”等，来学习数学．具体地说，调动学生的参与积极性当然十分重要，但从数学教育的角度看，又应深入地去思考：此类活动中学生真正感兴趣的是什么？什么又是他们通过参与此类活动的主要收获？再者，正如弗赖登塔尔所指出的，不应以自己的想法代替学生的感受，因为，儿童完全可能“通过操作对概念进行运算，但却不知道自己在做什么”．这也就是指，尽管“旁观者确实可以将它解释为数学，因为他熟悉数学，也了解实验过程中儿童的活动是什么意思，可是儿童并不知道”．（这是另一相关的问题，即是应当如何认识“愉快学习”与“数学学习”之间的关系，特别是，数学学习能否真正成为一种“愉快学习”？或者说，这里所涉及的究竟是一种什么样的快乐？）
总之，无论教学中采取了怎样的活动形式，都不应忘记一点，即是应当通过活动促进学生积极“动脑”，而不应认为学生只需实际参与各种“数学活动”就可学会数学，或认为学生的数学发展可归结为“基本活动经验”的简单积累．恰恰相反，这是判断一个“数学活动”是否适合的主要标准，即这是否有利于学生的数学学习，特别是思维的发展．这也就是指，决不应脱离数学思维去谈论“数学活动”，而应将此看成数学思维的具体体现与直接应用，这更是数学教学应当纠正的一个弊病，即是学生似乎一直在“做数学”，但却很难被看成真正学到了数学，从而就只是一种“浅度教学”．
（2）就“深度教学”的理解，特别是相关的教学实践而言，又应防止各种可能的片面性，并很好把握各个对立环节之间的关系．
例如，以上关于“动手”与“动脑”的分析显然就不应被理解成对于学生动手的简单否定，也即将两者绝对地对立起来，而是指应当更加重视以“动手”促进学生“动脑”，包括由单纯的“活动经验”转向知识的深刻理解．
在此还应特别强调这样几点．
第一，教学中应当很好处理“知识和技能的教学”与“学生思维发展”之间的关系．既应由具体数学知识和技能深入到思维的层面，但又不应以后者完全取代知识与技能的教学，因为，除去知识与技能本身的价值以外，这也为思维教学提供了必要的载体和途径，我们并就应当以思维的分析带动具体知识和技能的学习，从而真正做到“教懂、教活、教深”，也即能够通过自己的教学向学生展现“活生生的”数学研究工作，而不是死的数学知识，并能帮助他们真正理解相关的内容，而不是囫囵吐枣，死记硬背，又不仅能够掌握具体的数学知识，也能领会内在的思想方法[3-4]．
第二，不应将“数学思维的教学”与“一般思维的学习和思维品质的提升”直接对立起来，毋宁说，这即是为改进教学指明了进一步的努力方向．例如，相对于各种具体的解题方法或解题策略而言，应更加重视“变化的思想”与“联系的观点”等一般性思维策略，也即应当从后一高度帮助学生由“数学思维”逐步走向“学会思维”，包括努力提升思维的品质．再例如，既不应局限于所谓的“直观几何”，但也不应因此而完全否定“直观”在几何、乃至整个数学学习过程中的重要作用，而是应当努力实现“直观”在更高层次上的重构，也即应当帮助学生逐步学会用几何图形表现内在的思维活动，从而实现思维的“可视化”，后者并就是发展“形象思维”与“数学直觉”最重要的一个途径．
第三，还应很好处理“学生独立思考”与“教师引导”之间的关系．既应将帮助学生学会学习看成数学教学的重要目标，但又应当清楚地看到这一目标的实现离不开教师的指导，后者并就是由数学学习的性质直接决定的：这主要是后天的文化继承，并必然地有一个较长的过程，教师在此所发挥的则就是文化传承的作用．
也正因此，这就是教学中应当特别重视的又一问题，即是如何处理教师的“引”与“放”之间的关系，也即就各个具体内容的教学而言，教师应当在哪些方面发挥重要的引领作用，哪些方面又应放手让学生自己完成，或是主要通过学生间的合作完成？
最后，应当强调的是，上述分析显然也为如何做好“深度教学”指明了努力的方向：应当用思维方法的分析指导、带动数学知识和技能的教学，从而不仅帮助学生很好掌握各种具体的知识和技能，也能通过数学学会思维；教学中并应注意由具体的方法和策略上升到一般性的思维策略与思维品质，使大多数学生在离开学校以后还能真的留下些具有普遍性价值的东西；还应努力帮助学生学会学习，学会合作．
2“数学深度教学”的4个重要环节
以下再指明“深度教学”特别重要的4个环节，包括如何才能帮助学生学会学习．
2.1 联系的观点
注重“联系的观点”事实上也是国际数学教育界的一个普遍趋势，更与“理解教学”具有直接的联系：按照建构主义，“理解”就是指新学习的知识与主体已有的知识与经验建立起了直接的联系（包括“同化”与“顺应”）；而“联系”的数目与强度则更直接决定了“理解”的程度：“如果潜在的相关的各个概念的心理表征中只有一部分建立起了联系，或所说的联系十分脆弱，这时的理解就是很有限的……随着网络的增长或联系由于强化的经验或网络的精致化得到了加强，这时理解就增强了．”（Hiebert语）（依据上述分析显然也可更好理解笔者关于“双基教学”的这样一个建议：“基础知识的教学，不应求全，而应求联；基本技能的教学，不应求全，而应求变．”[5]）
就“深度教学”而言，“联系的观点”还有这样一个特殊意义：只有从更广泛的角度，也即用联系的观点进行分析思考，才能达到更大的认识深度；反之，也只有达到了更大的认识深度，才能更好发现不同对象之间的联系．（据此也可很好地理解马立平博士何以将“深度”与“广度”【与“贯通度”】一起列为“数学知识深刻理解”的3个维度．）另外，由于“联系的观点”显然也应被看成一种普遍性的思维策略，对此自然就应予以特别的重视，即不只是用“联系的观点”指导各个具体内容的教学，从而帮助学生更好地掌握这些内容，而且也应通过这一途径帮助学生逐步掌握这种思想策略，也即能够应用这一方法去分析问题和解决问题．
就“联系的观点”在数学教学中的应用而言，并可大致地区分出3个不同的层次．
（1）比较的应用．这既是指找出对象的共同点，也可集中于对象的不同之处，或是同时关注它们的“同与不同”．这些对于数学的认识都有十分重要的作用．
例如，找出不同对象的共同点（这也就是所谓的“举三反一”）显然就是数学抽象、乃至一般抽象的直接基础；另外，如果说抽象主要涉及到了特殊与一般之间的关系，那么，“借助于特例进行思考”就是类比联系的主要特征，也即如何能够借助一个特例去从事另一特例的研究．在一些学者看来，这也正是“实践性智慧”的主要特征．
最后，“对照比较”显然也可被看成一个普遍性的思维策略，包括与“变化的思想”的综合应用．例如，常常可以通过与“基本题型”的比较与适当变化解决各种较复杂的问题，而这事实上也正是应用题教学的思维价值所在．
（2）“全局的观念”的指导．教学中应跳出各个细节并从整体上进行分析思考，包括用整体性认识指导各个具体内容的教学．
在此还应特别强调这样两点：第一，抓好“种子课”，突出基本问题；第二，注重认识的发展，“用发展代替重复”（俞正强语）．
例如，就小学数学而言，“度量问题”显然包括众多的内容，从而就应很好确定它们的共同核心和相应的“种子课”，为后继内容的教学打下良好基础；进而，相对于简单重复而言，又应更加重视通过新的学习发展学生的认识，包括对“基本问题”和“基本数学思想”的必要强化和再认识．
具体地说，尽管“度”和“量”即可被看成“度量问题”的共同核心，但这在不同情况下又应说有不同的涵义或重点．因此，在教学中就不仅应当帮助学生很好认识新的内容与已学过内容之间的共同点，也应注意分析它又有哪些新的特点，特别是，什么是这一情况下合适的度量单位和度量方法（与工具）？
以下则就是与“度量问题”密切相关的基本数学思想：数学中必须由简单的定性描述（“长短”“轻重”“大小”等）过渡到精确的定量分析；而且，随着研究对象的扩展，又应帮助学生建立这样一个认识，即是用计算代替直接度量，用“动脑”代替“动手”．
（3）努力帮助学生建立“结构性认识”，也即能够按照逻辑的顺序（由简单到复杂、由低维到高维）把握各个相关内容，从而更好地认识它们的内在联系，包括什么是真正的重点或关键等．
例如，这就是小学几何教学的一条主线，即是研究对象由“一条直线”逐步扩展到了“两条直线”“三条直线”……
具体地说，从上述角度即可更好理解“角的本质”：重要的并不在于我们应将“角”的“边”定义为射线、还是线段，而是帮助学生很好认识引入“角”这样一个概念的必要性与相关定义的合理性：“角”的引进主要反映了这样一个需要，即是如何反映直线（线段）与直线（线段）之间的位置关系．
进而，随着研究对象扩展到更多的直线（线段）、特别是三条直线（线段），“三角形”和“多边形”的引入就十分自然了，包括为什么应将三角形的3条边和3个角看成它的主要元素，也即应当主要围绕“边与边”“角与角”与“边与角”的关系从事三角形的研究：正是先前的研究——在此即是指“线段”与“角”这样两个概念的引入与研究——为后继工作提供了必要的概念工具．
最后，还应围绕“维度”的概念，特别是“由一维到二维、再到三维”这样一个顺序帮助学生很好地建立起关于几何形体的整体性认识．
例如，就只有按照这一思路才能很好解决以下的问题，包括真正突破“直观几何”的局限性：“在整个小学阶段，周长与面积概念的混淆一直困扰着学生和老师，这是为什么？可以从哪些方面去努力？”
当然，除去几何教学以外，也应从同一角度对“数的认识与运算”做出分析思考．以下就是这样的一个实例[6]．
“可以说，‘比较’这一数学思想贯穿了小学数学学习的始终，对此并可简单地罗列为下列几个典型句式：
第一阶段（一、二年级）：□比□多（少）几？
第二阶段（三、四年级）：□是□的几倍（几倍多（少）几）？
第三阶段（五、六年级）：□是□的几分之几（□比□多（少）几分之几）？”
最后，从促进学生的思维发展这一立场进行分析，又应明确提出这样一个任务，即是应当通过“结构性教学”帮助学生学会“结构性思维”．（对于所说的“结构性教学”不应与布鲁纳等人所倡导的“结构主义教学”相混淆，两者的主要区别是：“结构性思维”必定有一个后天学习与逐步深入的过程，相关教学并应与学生的认知发展水平相适应．）当然，为了实现这一目标，教师本身必须对于相关内容有深刻的理解，特别是，不仅能够准确把握相应的“核心内容”，而且也能依据“知识结构”与“认知结构”的分析很好处理细节与整体、“生成”与“再认识”等对立环节之间的关系．对此将在以下联系“帮助学生学会学习”做出进一步的分析．
2.2 问题引领
强调“深度教学”显然突现了教师在教学活动中的主导作用，也正因此，就应特别重视如何进行教学才能同时保证学生在学习中的主体地位，这并就是突出强调“问题引领”的主要原因，另外，后者事实上也可被看成中国数学教学的一个重要特色[7]．
就“深度教学”具体实践而言，还应特别强调这样几点．
（1）不仅应当做好“知识的问题化”与“问题的知识化”，也应高度重视如何能够通过适当的问题引导学生更深入地进行思考，也即由知识和技能深入到思维的层面．
（2）“问题引领”不仅应当体现于课堂教学的开始部分，也应体现于其它各个环节，尽管不同环节应有不同的重点．在开始部分，应当特别重视“核心问题”的提炼与“再加工”，从而就不仅能够真正聚焦于课程内容的重点与难点，也能很好调动学生学习积极性，相关实例可见文[8-10]．其次，由于认识往往有一个逐步明朗与不断深化的过程，包括关注点的必要调整与纠错，因此，在课程的中间环节，教师就应根据预设和当时的实际情况做出持续的引导，包括“核心问题”的明朗化与“再聚焦”，通过追问、反问与提出新的问题促进学生的深入思考，乃至从“元认知”的高度做出分析和思考等．最后，在课程的结束部分，则应引导学生对已有工作做出认真的总结与反思，并通过适当的问题引导学生在课后继续进行思考，从而很好体现教学的“开放性”．
以下就是关于在学生取得了一定进展之后（包括“课中”与“课尾”）如何通过适当的提问引导他们更深入地进行思考的一些具体建议（相关实例可见文[11]）．
尽管学生已经初步地掌握了某种计算方法，仍应引导他们进一步去思考相关算法的合理性，也即真正弄清为什么可以这样去算，包括用自己的语言对此做出清楚说明．
尽管学生似乎已经较好地掌握了某一概念，包括能对相关实例（正例和反例）做出正确判断，也能准确复述相关的定义，仍应促使他们深入思考这一概念与其它相关概念之间的关系，包括究竟什么是这一概念的本质，为什么要引入这一概念等．
尽管学生已通过主动探究发现了相应的规律，仍应促使他们深入地思考如何对此做出必要的检验，又能否对此做出进一步的推广等．
尽管学生已顺利地解决了面对的问题，又应促使他们更深入地去思考其中是否可能存在某些隐藏的错误，能否找到更有效的解题方法，由这一解题过程又可获得哪些一般性的结论和启示等．
显然，上述分析也已清楚地表明了教学中恰当应用“问题链”的重要性，即是如何“让思维在‘问题链’中‘浅入深出’”（吴正宪语）．
（3）尽管对于教师如何做好“问题引领”可以提出一些普遍性的建议，又应更加重注意针对具体的教学内容、对象与环境创造地加以应用．
例如，正如人们普遍了解的，以下3个问题对于数学概念的教学具有特别的重要性．第一，是什么？即概念的定义．第二，有什么用？即为什么要引入？第三，相关概念与其它概念的联系与区别？但是，相对于机械地去提出这样3个问题而言，显然又应更加重视针对具体教学内容与对象做出恰当的选择，从而很好确定相应的“核心问题”．
例2 数学概念教学的3个例子．
第一，刘松，“聚集核心问题，发展核心素养——《百分数的意义》的教学及思考”（《教育视界》，2017年第4期）．其中主要突出了如下问题.
在已经有了分数的情况下为什么还要引入百分数？为什么不是“十分数”、不是“千分数”？
你们见过百分数带单位名称的吗？为什么？
第二，李培芳，“基于问题的互助学习——以‘比例的意义’的教学为例”（《小学教学》，2017年第10期）．文中也提到了这样3个问题：什么是比例？比例有什么用？比例与比有什么关系？但这又是相关教师的主要观点：就这一内容的教学而言，应当更加突出这样一个问题：为什么要由“比”的概念进一步过渡到“比例”的概念，即“比例究竟有什么用？”
第三，郭海娟，“‘两位数减一位数（退位减）’的教学”（《教育视界》，2017年第6期）．相关教师原先认定这一堂课应当聚焦于“个位不够减，怎么办”这样一个问题，但通过实际教学认识到学生的问题并不在于“怎么办”、也即“怎样退位？”而是“为什么要退位？”于是调整教学思路，通过两组需要退位和不需要退位的算式的对比，让学生首先判断需不需要退位，再思考怎样退位．
文中写道：“‘需要退位吗’这一课堂中生发的核心问题，如同引擎般将学生‘发动’起来，帮助学生明晰了‘退位减’与‘不退位减’的重要区别．”
从同一角度进行分析也可看出，教学中不应唯一强调任何一种问题形式，而是应当更加重视针对具体内容和对象创造性地加以应用，包括同时肯定“大问题教学”与“让思维在‘问题链’中‘浅入深出’”这样两种方法对于数学教学的特殊重要性．进而，以下论述或许就可被看成为如何处理这两者之间的关系提供了直接启示：应当同时做好“整体设计的开放性”与“细节处理的精致化”（张齐华语）．
综上可见，“善于提问”确应被看成数学教师十分重要的一项基本功，特别是，即应通过适当提问引导学生更深入地进行思考，从而真正学会思维，包括努力提升他们提出问题的能力（对于后一论题将在第四小节做出进一步的论述）．
也正因此，这就应被看成这方面工作更高的一个境界，即是如何能够使得以下情境成为数学教学的常态：这时不仅原先设计的问题已经成了学生自己的问题，学生的关注也不再局限于原先的问题，他们所追求的更已超出了单纯意义上的“问题解答”[12]．另外，从同一角度进行分析，相信读者也可更好地理解以下的论述：“一个问题情境既不能被等同于问题本身，也不能被等同于如何在教室中对所说的问题做出说明，它还包括了教师关于在课堂上如何去组织这一问题的求解以及如何对相关解答进行验证的构思．从而，这就可被看成问题与教学情境的一个组合．”（安提卡语）
2.3 充分的交流和互动
为什么又应特别重视学生的交流与互动？或者说，什么是“深度教学”在这一方面给出的重要启示和更高要求？答案应当说十分明显：这主要地不是指“会说”“会听”等一般性要求，而是因为这十分有益于学生学会反思，学会优化，学会合作．
以下就是这方面的一些具体建议．
（1）教学中应尽可能给学生更多的表述机会，因为，为了清楚地说出自己的想法，必然要求主体积极进行思考，包括对于自己头脑中已有想法的梳理与检查．
由于上述目标的实现在很大程度上取决于学生是否有时间做出准备，特别是深入思考，因此，教学中应十分重视为学生的积极思考提供足够的空间与时间，包括努力培养学生长时间思考的习惯与能力．
特别是，教学中要求学生解决的问题不应太多太小，而应努力做到“少而精”，并有足够的思维含金量，因为，不然的话，学生就会忙于应付，而不可能真正静下心来做长时间的思考，甚至根本找不到深入思考的切入点．
教学中还应十分重视如何能为学生的静心思考提供合适的环境与氛围，包括努力帮助他们进入这样一种状态，即是完全沉浸于相应的学习活动．
例如，从后一角度进行分析，以下的论述即使对于数学教师而言也是十分重要的：“班级要宁静，教师必须先静下来．秩序紊乱的班级通常都会有一位喋喋不休的教师．教师说话太急促，声调不断提高，带着强烈的情绪与人交流，等等．”（林文生）“改变最应该从课堂开始，每个课堂的参与者都要学会静静地倾听，尤其是课堂的主导者——教师……只有倾听才能有正常、平等的交流，只有倾听才能让自己的下一句话有的放矢，才能让学生们想听，而只要学生们想听，你就不用背着大功率的扩音器，润物细无声才是教育的高境界．”（吴志军）
（2）其他人的看法或做法显然也为主体的深入思考、特别是比较和优化提供了重要背景，因为，只有更清晰、更深入、更全面、更合理地进行思考，才可能对他人的意见做出适当评论与批评，包括对自身原来的认识做出改进或优化．更进一步说，这并就清楚地表明了这样一点：“深度学习”不仅依靠师生间的积极互动，同样离不开学生间的积极交流与互动．
也正因此，在教学中就应积极提倡观点与方法等的多元化，特别是对于不同观点与方法等的容忍、理解与欣赏，即是应当保持一定的开放性，而不应过分强调教学的规范性．进而，教学中又应更加重视引导学生对不同的观点和方法（包括自己原先的观点和方法）等做出比较，并能通过充分地交流与反思很好实现认识的不断优化．
显然，从上述角度也可更好地理解：应将“善于比较与优化”看成数学教师又一重要的基本功．教学中还应很好地处理开放性与规范性之间的关系，即既应坚持必要的规范，而不应采取放任自由的态度，又应使之真正成为学生的自觉行为，而不只是由于外部压力的被迫服从．
（3）强调“交流与互动”还有这样一个更重要的涵义，即是认识主体由各个单独的个体向群体、向由学生与教师组成的“学习共同体”的转变．也正因此，这就更直接地关系到了“深度教学”的这样一个目标，即是应当帮助学生“学会合作”，从而真正成为学习的主人．从理论的角度看，这并可被看成集中反映了“社会建构论”与“个体建构论”的区别；当然，这又是两者必须共同面对的一个问题，即是如何更好地认识“建构”与“反映”之间的关系．
例如，只有从上述角度进行分析，才能更好理解“学习”的真正涵义：这并非指知识的简单“传递”，而主要是指相关成员作为共同体的成员直接参与到了知识的生成过程之中，尽管相关学生在当时可能并没有发言的机会，或只是通过举手表达了对于某个主张的赞同或反对，或只是用简单的一句话表达了自己的想法，或只是提出了一个问题，等等．
更重要的是，如果说在先前所强调的主要是由“与别人对话”转变到“与自己对话（反思）”，那么，现在就是由“个体性反思”走向了“集体性反思”和“社会性反思”，后者显然又应被看成一种更高层次的“反思”．
例如，从后一角度去分析，这就是一个很好的教学措施，即在课堂上组织学生对解题时容易出错的地方（“易错题”）进行交流，包括明确提出这样一个论述：“聪明人会认识自己的错误，聪明人会改正自己的错误，聪明人不重复犯同样的错误，最聪明的人不重复别人的错误．”（贲友林语）
再者，这显然也是上述做法的一个可能作用，即是有益于解决现实中“学生间差异变大”这样一个困难，并将此转变成重要的教学资源．当然，后者又不只是指“兵教兵”这一方式的应用，而主要是指使全体学生真正成为一个学习共同体，从而就可超出单纯知识与方法的学习这样一个范围产生更大的作用，特别是，即是帮助学生真正学会合作．
综上可见，这就是交流与互动的主要作用：触发思考，促进优化，学会合作；进而，为了实现这样一个目标，教师就不应满足于“平等的参与者”这样一个定位，而应很好发挥“组织者”和“引导者”等作用，即如对于讨论方向的引导、结论的总结和必要强调等，更应努力促进学生的反思与合作，从而实现不断的优化．
这或许也可被看成实现以下目标的关键：“错着错着就对了；聊着聊着就会了．”（吴正宪语）当然，这又是这方面的一个更高要求，即是努力促进学生的思考，从而真正做到“想着想着就通（懂）了”．（也可从同一角度对如何更好地实现“学为中心”做出具体分析，即是应对“交流与互动”予以更大的重视，包括切实做好“学习共同体”的建设．）
以下就是这方面的一个具体经验．
例3 与学生的“约定”．
这是北京小学长阳学校吴桂菊老师的一个做法，即从一年级开始就鼓励学生在课堂上自由地与同学们分享“自己看到了什么，自己想到了什么，自己发现了什么，自己有什么好奇想问的”，并将此作为师生的共同约定用明显标识写在了教室的黑板之上，如图5所示．
图5 黑板标识
当然，随着学生年龄的增长，又应对此做出必要的调整．例如，在进入小学中段以后，这可能就是更加合适的一个“约定”，即是应当鼓励学生在课堂上自由地提出以下几个问题：“我还有哪些不理解的地方或疑问？有什么不同的想法或做法？我又有哪些教训愿意与大家分享？我还能提出哪些问题供大家进一步思考？”
最后，还应强调的是，上述分析事实上也直接涉及到了这样一个问题，即是应当创造怎样一种“数学课堂文化”：“思维的课堂，安静的课堂，合作的课堂，开放的课堂．”当然，后一目标的实现必定又有一个较长的过程：“你的心中有你坚信的价值观，你真诚地相信它、表达它、宣扬它，并持之以恒地创造性地工作，可能就是在倡导一种文化……文化是源自内心的坚守和持之以恒的耕耘，短时间内是无法被刻意创造出来的．”（王小东）
2.4 努力帮助学生学会学习
“帮助学生学会学习”，首先就是指这样一个意识的树立，即是应由教师指导下的学习、不知不觉的成长，转变成学生的自觉行为，包括清楚地认识数学学习，特别是“深度学习”的主要目标，并以此来指导自己的行动．
就这方面的具体工作而言，还应注意超出数学从更一般的角度进行分析．以下就转引著名学者周国平先生的一些论述，借此即可更清楚地认识究竟应当通过数学学习养成哪些基本能力和必备品格．
周国平先生指出，就人的成长而言，有3项教育是最重要的：生命教育、智力教育与灵魂教育．以下就是一些相关的论述[13]．
“在人的智力品质中，第一重要的品质是好奇心……每个人在智力成长的一定阶段上都会显现出来，实际上是一个人的理性觉醒的征兆．”
“智力品质的另一个要素是独立思考的能力．所谓独立思考的能力，就是对于任何理论、说法，你都要追问它的根据，在弄清它有无根据之前，你要存疑．”
“智力生活的非功利性……如果一个民族尊重精神本身的价值，纯粹出于兴趣从事精神事业的人越多，那个民族就会成为肥沃的土壤，最容易出大师．”
“怎样才能使灵魂丰富呢？欣赏艺术，欣赏大自然，情感的经历和体验，这些都很重要．除此以外……要养成过内心生活的习惯．人应该留一点时间给自己，和自己的灵魂在一起，静下来，想一想人生的问题，想一想自己的生活状态……我承认交往是一种能力，但独处是一种更重要的能力，缺乏这种能力是更大的缺陷．”
由此可见，通过数学学习应当养成以下一些基本素养．
第一，好奇心的保持，对精神本身价值的尊重．这事实上也是笔者一直持有的一个观点：正是人类固有的好奇心、探究心为数学学习提供了根本动力：“一种希望揭示世界最深刻奥秘的强烈情感．”[14]
显然，从上述角度也可更清楚地认识“应试教育”的危害性，包括这样一点，即是不应过分强调数学的实用价值．
第二，理性精神的养成，特别是，应当努力提升自身独立思考的能力，包括一定的批判能力，而不是迷信盲从，并能逐步养成自觉反思的良好习惯与不断优化的能力，而不是自我满足，固步自封，包括积极创新，而不是标新立异．
在很多人看来，这也正是数学学习的主要价值：“告诉一个小学生第二次世界大战持续了10年，他会相信；告诉他两个4的和为10，就会引起争论了．”[15]另外，还应通过数学学习逐步养成长时间思考的习惯与能力，以及以下一些品格：有较强的承受力，能经得起挫折与失败，能耐得住寂寞，有一定的独处能力，并能始终保持积极思维与谨慎的乐观这样一种状态．
就这方面的具体教学工作而言，还应特别强调两点．
（1）注意帮助学生学会总结、反思与“再认识”．
如前所述，这也直接关系到了数学本身的特点：数学的发展主要不是指横向的扩展，即如引进了更多概念，积累起了更多知识与技能等，而是指借助更高层次的抽象实现了纵向的发展；也正因此，数学学习就主要是一个不断优化的过程，又由于后者不可能单纯依靠外部压力与简单示范得到实现，而必须成为学生的自觉行为，这显然也就更清楚地表明了帮助学生学会总结与反思的重要性．
例如，“问题解决”现代研究中对于“元认知”的强调就可被看成属于这样一个范围，即在从事解题活动时，应当促使学生经常问自己这样3个问题[16]：正在干什么？为什么要这样做？这样做了究竟又有怎样的效果？而这事实上就是一种“即时反思”，更十分有益于学生依据实际情况及时做出必要调整，并使解题活动真正成为一种自觉的行为．另外，教学中还应十分重视引导学生从整体的视角对已有知识做出“再认识”，从而建立起“结构性认识”，并能真正做到“化多为少”“化复杂为简单”．
例如，就自然数的运算而言，就应通过总结与反思帮助学生建立这样的认识：对此可以区分出两个不同的层次：加与减，乘与除．两者又不仅同样具有互逆的关系，相应的计算法则也都可以看成“化归思想”的具体运用，即是用加法与乘法分别解决减法与除法的问题．
应当强调的是，在很多学者看来，这也正是数学认识发展最重要的一个特点：“由简单到复杂，化复杂为简单”；进而，正如华罗庚先生所说，这也可被看成最基本的治学之道，尽管他使用的是“由薄到厚”和“由厚到薄”这样一个表达方式：“由薄到厚是学习、接受的过程，由厚到薄是消化、提炼的过程”；“经过‘由薄到厚’和‘由厚到薄’的过程，对所学的东西做到懂，彻底懂，经过消化的懂，我们的基础就算是真正打好了”[17]．
（2）努力提高学生提出问题的能力．
如果说适当的提问正是教师发挥指导作用，特别是引导学生深入思考最重要的一个环节，那么，由此显然也可引出这样一个结论：努力提升他们提出问题的能力正是帮助学生学会学习的又一关键：借此他们即可通过自我引领不断实现自我完善和新的发展．以下即是几个具体的建议．
第一，无论在课程的哪个环节，教师都不仅应当通过适当提问进行引领，也应让学生发挥更大的作用，即是应当鼓励学生积极提问，包括通过对学生所提问题的评价、筛选与优化等为学生提供必要指导，并能通过自己的工作做出直接的示范．
教学中并应注意保护学生的提问积极性，而不要因为不恰当的“理答”挫伤了他们在这一方面的积极性，即应让学生真正做到“敢问”．正因为此，这就应被看成“数学课堂文化”建设的又一重要方面．
第二，除去直接的示范，也应从一般角度总结出这方面的一些普遍性策略或方法．
例如，所谓的“逆向思维”就可被看成这样的一个策略，如在解决了“面积相等时图形的形状是否一样”这一问题之后，就应促使学生进一步去思考：“图形形状一样时面积是否一定相等？”进而，以下一些问题的提出则可被看成“类比联想”的具体应用：“面积相等时图形的周长是否一定相等？”“周长相等时图形的面积是否一定相等？”
再例如，对于所谓的“否定假设法”[18]也应予以特别的重视，因为，借此即可清楚地认识“（自我）评价”对于提升提出问题能力的特殊重要性．
还应清楚地看到在“提出问题的能力”与“数学思维和一般思维能力”之间的重要联系：“提出问题”事实上也可被看成数学思维与一般性思维策略的具体体现和直接应用，反之，提出问题的学习也十分有益于人们思维品质的提升．
第三，应当努力提升学生在这一方面的自觉性，特别是，不仅“敢问”，也能真正做到“爱问”“善问”．
例如，这方面十分重要的一个认识就在于：为什么要对“发现问题”与“提出问题”做出一定区分，并对“问题的表述”予以足够的重视？这事实上也关系到了由素朴状态向自觉状态的重要转变：如果说“发现问题”主要是指主体对于问题有一定的敏感性，也即具有一定的“问题意识”，那么，由“发现问题”转向“提出问题”，就意味着主体对问题的认识已由先前的“模模糊糊、似有似无”转变成了清醒的认识，变得更清晰、更准确，这并就是认真思考和分析（“再思考”），包括自我评价与改进的结果，如这是否可以被看成一个真正的问题，又是否具有深入研究的价值等[16]．
显然还应特别强调提出问题对于提升创造能力的特殊重要性，包括这样一点：只有会提问题，特别是能够引发深入思考的问题，才能真正学会学习，学会“深度学习”．
第四，还应十分重视学生的发展水平与接受能力，包括针对“学生的学习心理”去进行工作．这也正是以下实例给予的主要启示：
例4 姜俊峰，“从学生心理看提问时机的设置”（《小学数学教师》，2018年第12期）．
这是作者对于六年级学生的一项调查，希望能够弄清“学生对课堂提问的喜好及真实想法”．以下就是两个相关的结论．
其一，“学生对提问是有畏难情绪的……他们更希望能在对知识有一定体验后进行提问，以提出‘被人接受的’的‘好问题’．”相对而言，“设置在课始的提问看似不难，但为何喜欢的学生并不多？因为，学生此时自感缺乏对知识的体验，觉得很难提出好问题．”
其二，“学生对提问是有目标意识的……他们更愿意在对比新旧知识后，提一些‘加深对知识的理解’的‘好问题’，而这样的提问时机就是在新知识刚讲完以后．”“我们是否也可由此推测，喜欢在‘课堂的练习部分’和‘课堂总结时’提问的学生之所以不多，是因为练习时已进入巩固深化阶段，不再有新旧知识对比；而课堂总结时，学生难免认为：都已经学完还怎么提呢？更何况，课末提问通常以教师的‘课下自行研究’而告终，那何必再提呢？”
由此可见，让学生提问必须讲究时机：“让学生在有一定体验后进行提问，在教学的行进过程中开展提问．”另外，这也更清楚地表明了在“提问”与深化认识之间的重要联系，对此学生并可说已有了一定认识．
当然，与简单否定课始和课末的提问相比较，上述分析又应被看成更清楚地表明了努力提升学生在这方面认识的重要性，也即应当通过自己的教学帮助学生很好地认识“善于提问”与总结反思对于学习的特殊重要性，包括逐步学会在不同时机提出不同的问题．
最后，还应强调的是，先前关于“深度教学”主要环节的分析显然也为这方面工作提供了直接启示，特别是，除去已提及的“总结反思”和“适当提问”以外，还应通过强调“联系的观点”和“积极的交流与互动”帮助学生更好地学会学习，包括真正学会与他人合作．
3结语
如果说人们在先前比较注重教学的“实”“活”“新”（周玉仁语），那么，在当前就应更加强调一个“深”字，也即应当通过“深度教学”很好落实努力提升学生核心素养这样一个目标．再则，如果说“用诗意的语言感染学生”正是语文教学应当努力实现的境界，那么，数学教师的主要责任就是“以深刻的思想启迪学生”．
[1] 郑毓信．“数学与思维”之深思[J]．数学教育学报，2015，24（1）：1-5．
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[18] 郑毓信．聚焦“学生发现与提出问题能力的培养”[J]．教学月刊，2018（4）：4-9．
The Theory and Practice of Teaching Mathematics with Depth
ZHENG Yu-xin
(Department of Philosophy, Nanjing University, Jiangsu Nanjing 210093, China)
Abstract: Teaching with depth was not only an inherent requirement of mathematics education itself, but also an urgent need of the further development of the society. It means, we had to transcend concrete knowledge and skill to the level of thinking, and go from the mathematical methods and strategies to the general thinking methods and teach for raising students’ thinking quality, and help them to master learning. Besides the direct implications of the theory, there were also four important respects for the practice of teaching mathematics with depth: (1) connections; (2) problem-directing; (3) communication and interaction; (4) learn to master learning.
Key words: teaching mathematics with depth; learn thinking through mathematics; connections; problem-directing; communication and interaction; learn to master learning
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