Liberal Arts
在这个瞬息万变的世界中，自主思考的能力必不可少。欧洲有“七艺”（Liberal Arts）的教育传统，Liberal 原指“自由”，即“永不为奴”的意思。也就是说，Liberal Arts 是一种让人自主掌握命运、成为自由之人的素养。不管是成为领导者之时，还是面临预想之外的问题之时，都必须锻炼自主思考解决问题的能力。在古罗马时期，“七艺”为逻辑、语法、修辞、音乐、天文，还有算术和几何。最开始的三项是为了磨炼“论证”的语言技术，我认为这三项排在前面，是因为它们是语言成形的必要条件，只有学会使用语言，才能获得思考的能力。
“七艺”之中的“算术”和“几何”都属于数学领域，我觉得很有趣。通常情况下，大家会认为语言领域的文学或外国语言文学属于文科，数学属于理科，但我认为数学是和语言学习一样的东西。数学可以精准地描述事物，这种描述能力超越了英语、日语等自然语言的表现能力。所以如果理解数学，就能看到那些无形、不可见的东西，想出从未想到过的新创意。
——世界知名理论物理大家，大栗博司
今天分享的是《用数学的语言看世界》，这是我们所有人期待掌握的技能。先来看几段文字，感受一下数学在生活中的应用。
辛普森审判
1994 年年在美国洛杉矶发生了欧·杰·辛普森谋杀案，知名橄榄球运动员辛普森的前妻妮科尔·布朗及其友人罗纳德·古德曼被发现死于高曼的寓所外，辛普森被怀疑是杀害两人的凶手。辛普森退役后以演员和喜剧演员的身份参加各类活动，并且深受人们喜爱。因此，这个案件在当时备受关注。来自美国各地的律师们组成了辛普森的辩护团，被人们称为“梦之队”。另一方面，检察院也召集了最精明能干的检察官。甚至电视上还直播了这场“世纪审判”的审判情况。
检察院提交了辛普森常年对布朗施暴的证据，试图用家庭暴力证明其有杀人嫌疑。然而，辩护团中的一名律师、哈佛大学法学院的艾伦·德肖维茨教授引用了美国联邦调查局的一个犯罪统计，即虐待妻子的2500 名丈夫中只有1 人杀害了自己的妻子，并且主张应该忽略家庭暴力这个证据。结果检察院无力反驳，最终无法让陪审员信服辛普森的施暴行为造成了杀人行为。但是，德肖维茨教授的主张纯属诡辩，完全可以用数学语言驳倒。
刑事审判追究的是有罪的“概率”。除非亲眼看见犯罪，否则就不能百分之百地断定有罪。检察院的工作就是要证明无罪的概率极小，法律术语叫作“排除合理怀疑，判定有罪”。至于多小的概率才能排除合理怀疑，这是一道数学无法判断的主观问题。法官和陪审员的职责正是对此作出判断。但是概率能用数字表达怀疑的程度，并通过这个数字来判断是否存在合理怀疑。这就是数学的力量。用概率来讲，德肖维茨教授的主张是有家庭暴力的丈夫杀害妻子的概率是1/2500，因为这个概率极小，所以作为证据并无意义。法官和陪审员在作判断时，必须将所有相关信息考虑在内。实际上，德肖维茨教授忽略了一个重要的信息，即“妮科尔·布朗已经被杀害了”。如果把这个条件加进去的话，概率计算会出现完全不同的结果。
辩护团的德肖维茨教授主张有家庭暴力的丈夫杀害妻子的概率为1/2500，因为这个数字太小，所以作为证据提交并没有意义。换言之，
但是，辛普森审判中最重要的问题是“有家庭暴力，而且妻子遇害时，丈夫杀害妻子的概率”。
据说在美国，已婚女性被丈夫以外的人杀害的概率为20 000 人中有1 个人。假设受到家庭暴力的妻子为100 000 人，其中有5 人遇害的原因与家庭暴力无关。另一方面，受到家庭暴力的妻子被丈夫杀害的概率为1/2500，即100 000 人有40 人被丈夫杀害。遇害的妻子总共为40 + 5 = 45 人，其中被丈夫杀害的妻子为40 人，所以受到家庭暴力的妻子被杀害时，丈夫是犯人的概率为
也就是说，只要能够证明辛普森有家庭暴力，他杀害布朗的概率为90%。提出这个概率的话，想必就不能“排除合理怀疑”了。所以，显然这是一个重要的证据。90% 的概率也足以用来反驳德肖维茨教授的主张。这就是数学的力量。
事件发生时凶手所使用的黑色皮手套最终决定了审判结果。在辛普森家中发现的手套中沾有两人血液以及布朗的金色发丝，同时还检验出了辛普森的DNA。检察院提交了作为证物的手套，但是他们致命的失败在于要求辛普森戴上手套。因为沾有血迹的皮手套收缩了一些，所以辛普森的大手难以戴上。而且，后来媒体曝光出发现这个皮手套的警官是一名种族歧视者，辩护团主张这位警官有可能捏造证据诬陷黑人辛普森。由于警方草率管理证据遭到曝光，持有合理怀疑的陪审员们讨论后一致决定辛普森无罪。虽然数学起了一定的作用，但是仅靠数学也不一定能赢得审判。
纯粹数学的精华
数学家弗兰克·纳尔逊·柯尔出生于1861 年，曾在哥伦比亚大学执教并担任美国数学学会的秘书官长达25 年。退休时，他用收集的捐赠款设立了“柯尔奖”，这也是现在数学界最具权威性的奖项之一。1903 年10 月31 日，柯尔在纽约召开的美国数学学会总会上发表了题为“关于大数字的因数分解”的演讲。柯尔用粉笔在会场大黑板的左边写下了“2<67>”，接着计算2 的67 次方，用2的67方减去1（下面用n>代表n次方），得到
267> ? 1 = 147 573 952 589 676 412 927
然后又挪到黑板的右边，写下
193 707 721 × 761 838 257 287
在此期间，他一言不发，通过笔算计算出上述乘法运算的结果：
193 707 721 × 761 838 257 287 = 147 573 952 589 676 412 927
经过确认之后，与左边的2<67> ? 1 用等号连接起来。柯尔依旧沉默着放下粉笔，走回座位。原本鸦雀无声的会场里响起了雷鸣般的掌声。
柯尔在黑板上写的数属于梅森数中的一个。17 世纪的法国数学家马林·梅森对
2
做了大量的计算，推断出在小于257 的自然数n 中，当n = 2、3、5、7、13、17、19、31、67、127、257 时2
法国数学家爱德华·卢卡斯通过历时19 年的笔算，终于在1876年证实了2<127> ? 1 是素数。这是当时发现的数值最大的素数。直到20世纪中期，人们在计算器的帮助下才发现了更大的素数，在那之前这个记录一直没被打破。卢卡斯证实了梅森所推断的n = 127 时，2
梅森的想法虽然并不准确，不过2
研究整数性质的“数论”是纯粹数学中的一个特殊存在。例如被誉为人类历史上最伟大的数学家之一的高斯曾经说过：“数学是科学的女王, 而数论是数学的女王。”另外，19 世纪德国数学界的代表性人物利奥波德·克罗内克也有一句名言：“上帝创造了整数，其余都是人做的工作。”
无限世界
1976 年，美国的摇滚乐队“老鹰乐队”发行了一张专辑《加州旅馆》（Hotel California）。这张专辑的主打歌是将南加州一家虚构的旅馆作为故事的发生地。主人公在沙漠公路上驾驶，感觉疲劳的他走进了一家旅馆。旅馆门口的女服务员带他穿过走廊时，里面传来了说话声。
欢迎来到加州旅馆！加州旅馆拥有无穷间客房。您随时都可以入住。
经理（以下称为“经”）：欢迎来到加州旅馆！我是经理戴维·希尔伯特。本旅馆随时都有空房，因为我们拥有无穷间客房。您看走廊的前方，每间客房都标有房号，1、2、3 · · · 永远不会停止。您看起来很疲惫！我马上让客房部主管为您准备房间。
客房部主管（以下称为“主”）：经理，请您不要再轻易许诺说有多余房间了。今天客房已满，无法为客人办理入住。
经：你不用担心，把室内广播的话筒递给我。（拿起话筒）“不好意思打扰各位休息了。请1 号房的客人搬到2 号房，2号房的客人搬到3 号房”。
主：1 号房就变成空房了。
经：那么，就请这位客人入住1 号房。加州旅馆的卖点就是保证您随时都可以入住。
主：驶来了一辆旅游大巴，车身贴着“自然数旅行团”的标签。
经：你数一下来了多少客人。
主：1、2、3 · · ·，怎么也数不完。貌似所有自然数都来了，总共有无穷位客人。而且客房已满，如果只来1 位或2 位还可以想想办法。现在来了无穷位客人，客房肯定不够了。
经：你不用担心。又到了室内广播的时间，“不好意思打扰各位休息了。现在麻烦各位搬到偶数房间。请1 号房的客人搬到2 号房，2 号房的客人搬到4 号房。3 号房的客人搬到6 号房。”
主：1 号房、3 号房、5 号房· · · 等奇数房间全部空出来了。
经：请大巴上的客人按顺序入住。第一位客人入住1 号房、第2 为客人入住3 号房、第n 位客人入住(2n ? 1) 号房。这样一来，就能帮乘坐大巴的所有自然数客人安排房间。加州旅馆的卖点就是保证您随时都可以入住。
主：经理，又来了好几辆自然数旅游大巴。
经：你先数好大巴数。
主：1、2、3 · · · 怎么也数不完。貌似来了无穷辆大巴。而且，每辆大巴内都坐着无穷位客人。客房肯定不够了。
经：你不用担心。按照到达旅馆的先后顺序给旅游大巴编号，1、2、3 · · · 再播放与刚才相同的广播内容。
主：和刚才一样，奇数房间都空出来了。但是，也只够一辆旅游大巴的客人入住。
经：你不用担心。旅游大巴里的客人都有2 个号码，一个是自己乘坐的大巴编号，一个是自己在大巴里的座号。例如，如果是3 号大巴的第5 名乘客，就记作(3, 5)。
主：不过经理，1 号大巴的客人全部入住后，客房就全满了。
经：像你这样安排的话当然会住不下。首先，请客人们按我说的排队。
主：麻烦客人们排一下队伍。请2 号大巴的客人后退一步，3 号大巴的客人后退2 步。
经：对了，等客人们排好队后，给他们发放新的号码牌。
主：请按从前到后，从左到右的顺序传递号码牌。
经：这样一来，每位客人都能拿到号码牌。然后我们只要按照新的号码牌安排房间即可。刚才已经请之前入住的客人都搬到偶数房间，所以现在奇数房间都空出来了。那么，请[1] 号客人入住1 号房，[2] 号客人入住3 号房，[n] 号客人入住(2n ? 1) 号房。
主：即使来了无穷多辆大巴的客人，也能完美地安排他们入住。
经：加州旅馆的卖点就是保证您随时都可以入住。
主：又来了一辆大巴，是有理数旅游团。
经：你不用担心。加州旅馆随时都有房间。
主：这次来的客人是分数。
经：所有的分数都来了吗？
主：是的。仅1 和2 之间的分数就是无穷个，看起来比旅馆的房间还要多，能住得下吗？
经：你不用担心。刚才拿着大巴编号和座位编号2 个数字的客人都已经顺利入住了。
主：是的，给这些客人发放了新的号码牌，例如(1, 2) 换成[2]，(2, 3) 换成[8]，然后让他们按照新号码牌先后办理了入住。
经：只要把分数看成2 的数对就好了。例如客人1/2 就是(1, 2)，给他发放[2] 号，客人2/3 就是(2, 3)，换成[8]号。然后按照刚才的方法安排他们入住。
主：不过1/2 = 2/4，客人1/2 拿到的是[2] 号，而客人2/4 拿到的却是[8] 号。说起来，1/2 = 3/6 = 4/8 = 5/10 =· · ·，所以重复的客人太多了。
经：那就把重复的房间空出来。
主：这家旅馆太厉害了。分数的客人全部成功入住，而且还有空房。
经：时间不早了，我先去休息了。剩下的就交给你处理了。
主：（原来如此！不管来多少客人，只要给他们分配号码牌就可以了。如果我能处理好，经理一定会对我刮目相看。客人们快点来吧！）
导游（以下称为“导”）：这么晚还来打搅你们，真是不好意思。我是实数旅行团的导游。
。
。
。
【注】这段对话是1924 年希尔伯特在哥廷根大学讲课时，为说明有限集合和无限集合的区别而使用的例子，被叫作“希尔伯特旅馆”。
虽然说这是世界知名理论物理学家大栗博司先生写给女儿的数学启蒙书，我读了读竟然发现，它极其适合分享给每一位想了解数学的读者。根据上面分享的内容，你应该能体会这本书有多棒了！
这本书趣味性、知识性兼备。书中以用“数学语言”解读自然为线索，突破传统数学教育的顺序和教学方式，用历史事件、生动故事以及比喻直接讲解数学核心概念的原理与相关体系，并且讲解了把数学作为一门“语言”、用数学探索自然不可见结构的思维方式，是重新认识和理解数学的科普佳作。
作者：大栗博司
译者：尤斌斌
定价：46.00元
加州理工学院理论物理研究所所长、东京大学Kavli 数学物理联合宇宙研究机构研究主任 《超弦理论》作者 大栗博司 赠给女儿的“私房”数学科普读本
日本数学启蒙名作
日本《每日新闻》《钻石周刊》推荐图书
日本神户大学文理综合素养课程选定数学读物
图书目录
第1章 从不确定的信息中作出判断 1
序 辛普森审判与德肖维茨教授的辩护主张 1
1.先来掷骰子 3
2.赌博中的不败之法 4
3.条件概率与贝叶斯定理 8
4.乳腺癌检查是否没有意义？ 10
5.用数学来“学习经验” 13
6.核电站重大事故再次发生的概率 15
7.辛普森真的杀害了妻子吗？ 18
第2章 回归基本原理 21
序 创新与创造的必要条件 21
1.加法、乘法与运算三定律 22
2.减法与0的发现 25
3.(.1)×(.1) 为何等于1 ？ 29
4.分数与无限分割 32
5.假分数→带分数→连分数 33
6.用连分数制作历法 35
7.过去不被认可的无理数 37
8.二次方程的华丽历史 43
第3章 大数字并不恐怖 49
序 最初的原子弹爆炸实验与“费米问题” 49
1.大气中的二氧化碳究竟增加了多少 51
2.遇到大数字不必慌张 53
3.让天文学家寿命倍增的秘密武器 56
4.复利最大化的存款方法 59
5.让银行存款翻倍需要多少年 61
6.用对数透视自然法则 64
第4章 不可思议的素数 69
序 纯粹数学的精华 69
1.埃拉托斯特尼筛法与素数的发现 72
2.素数有无穷个 74
3.素数的分布存在规律 77
4.用素数判定“帕斯卡三角形” 79
5.通过费马检测就是素数？ 82
6.保护通信秘密的“公钥密码” 85
7.公钥密码的钥匙，欧拉定理 87
8.信用卡卡号SSL传输的原理 90
第5章 无限世界与不完备性定理 97
序 欢迎来到加州旅馆！ 97
1.1=0.99999...让人难以接受？ 107
2.阿喀琉斯永远追不上乌龟？ 110
3.“我正在说谎” 112
4.“不在场证明”与“反证法” 114
5.哥德尔不完备性定理 115
第6章 测量宇宙的形状 121
序 古希腊人如何测量地球周长？ 121
1.基础中的基础，三角形的性质 125
2.笛卡儿坐标与划时代的创想 134
3.六维、九维、十维 138
4.欧几里得公理不成立的世界 140
5.唯独平行公理不成立的世界 142
6.不用外部观测即可得知形状的“神奇定理” 145
7.画一个边长为100亿光年的三角形 148
第7章 微分源于积分 153
序 来自阿基米德的书信 153
1.为何先从积分开始？ 155
2.面积究竟如何计算 156
3.任何形状都OK，阿基米德的夹逼定理 158
4.积分究竟计算什么 160
5.积分与函数 164
6.飞矢不动？ 167
7.微分是积分的逆运算 169
8.指数函数的微分与积分 171
第8章 真实存在的“假想数字” 175
序 假想的朋友，假想的数字 175
1.平方为负的奇怪数字 176
2.从一维的实数到二维的复数 179
3.复数的乘法运算“旋转与伸长” 185
4.从加法导出的加法定理 189
5.用方程解决几何问题 191
6.三角函数、指数函数与欧拉公式 195
第9章 测量“难”与“美” 201
序 伽罗瓦，20年的生涯与不灭功绩 201
1.图形的对称性是什么 206
2.“群”的发现 210
3.二次方程求根公式的秘密 214
4.三次方程为何可解 218
5.方程可解是什么意思 224
6.五次方程与正二十面体 227
7.伽罗瓦最后的书信 229
8.方程的“难度”与图形的“美” 230
9.拥有第二个灵魂 233
后记 237
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数学的本质，是用数学的方式观察与思考。
——著名数学大师 高木贞治
这本书完全改变了我对数学的偏见。现在当我在初中、高中演讲时，面对学生“如何才能喜欢上数学”的提问，我毫不犹豫地推荐了这本书。
——日本京都大学教授 鎌田浩毅
这是能够让人在“人类认知极限”层面上，理解数学重要性的一本书。
——日本《钻石周刊》书评 佐藤优
数学是准确描述事物的语言。这本书传达了数学以及独立思考的乐趣，非常适合作为小孩子进入科学殿堂的数学启蒙书。
——日本亚马逊读者评论
大栗博司
大栗博司（Hirosi Ooguri）
美国加州理工学院理论物理讲席教授，理论物理研究所所长，日本东京大学Kavli数学物理学联合宇宙研究机构（Kavli IPMU）研究主任。东京大学理学博士，发现了量子场论与超弦理论的深层数学构造，其研究曾获得美国数学学会大奖（2008年）、德国洪堡研究奖（2009年）、日本仁科纪念奖(2009年)、日本数学学会詹姆斯·西蒙斯奖（2012年），《超弦理论：探究时间、空间及宇宙的本原》获得2014年日本第30届日本讲谈社科学出版奖。
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《引力是什么：支配宇宙万物的神秘之力》
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