庞加莱
等级： 神级
类型： 超越时代
毕业学校: 巴黎综合理工学院
留下工作岗位: 庞加莱猜想，同伦同调技术
代表性成果：
1.代数拓扑（数学史上最重要的数学构造之一，透视未来物理的基础性创造）
2.单值化定理
3.混沌理论
4.自守函数
5.狭义相对论
6.动力系统(创始人)
庞加莱的亮点：
1.史上在数学与物理综合成就最接近于牛顿的数学家！物理学史上最伟大的数学家！虽然在物理上无法与牛顿相提并论，但狭义相对论仅次于爱因斯坦贡献者，以及天体力学仅次于牛顿，开创的混沌理论，以及对量子力学的影响，无不是第一流物理学家的水准，而且庞加莱的纯数学成就直接甩牛顿八条街，甩爱因斯坦更是十八条街。
在数学创造力和爆发力上，庞加莱除了黎曼这尊无法跨越的主神之外，对于其他数学家，基本上是个吊打无压力的水准。
2.一己之力开创拓扑学这个堪称数学史上难度最大的最重要的数学构造之一！其在完成度和深度上虽然不如黎曼的几何（但难度远胜之），但要胜过伽罗华，阿贝尔的群论，和高斯在算术探索曲面几何的深度和完成度相仿，但同样难度远胜之！
其开创的同伦同调技术，尤其是高维单值化定理的证明推广，成为现代代数几何，乃至数学，理论物理最重要的基石之一，影响到多维时空的研究与发展！而且普遍认为，在未来的物理学的关键性突破，必须源于透视拓扑的更根本的性质，必须拓扑学有重大突破才能够诞生新的物理飞跃！
3.数学史上的智力之神！庞加莱学说的难度史上第一，毫无争议，其中充满创造性与复杂的新思想与新技巧，他是如何想出来这些艰深看不到尽头的学问，无人知晓！这与高斯，柯西，魏尔斯特拉斯搞出无数定理之类的工作根本不是一个档次！这是人类智力上的一个奇迹！这也是数学史上的一个谜！迄今无人可以解读！
庞加莱的不足：
1.拓扑学足够伟大，但庞加莱所开创的这项震撼人心的伟大数学构造只是粗糙构造，虽然揭示看清了许多本质，但远远未达到完美构造和预期，庞加莱去世后，拓扑学的研究已经进入停顿，再无实质性突破，庞加莱并未留下线索，迄今也无人能够企及这个高度，拓扑学仍然在等候下一个庞加莱一样的天才继承人。
2.否认狭义相对论的基本原理，所以即使他比爱因斯坦更早推出了狭义相对论方程，也极大的降低了他应得的荣誉，不作死就不会死，否则庞加莱将成为狭义相对论的第一发现人，物理学地位将跻身物理学史前十，而非如今前五十都进不了，成为爱因斯坦狭义相对论的第二贡献者的陪衬地位。这个是物理学上的黑点，不影响他数学上的成就。不过因为太著名，也就提提。
在来说一下庞加莱给后世数学家解决的就业问题:
1庞加莱猜想:
更直观地讲：
一个闭的三维流形就是一个有边界的三维空间；
单连通就是这个空间中每条封闭的曲线都可以连续的收缩成一点，或者说在一个封闭的三维空间，假如每条封闭的曲线都能收缩成一点，这个空间就一定是一个三维圆球 。
后来，这个猜想被推广至三维以上空间，被称为“高维庞加莱猜想”。
解决庞加莱猜想而做出贡献的四位数学家因此获得了菲尔兹奖:
1966年菲尔兹奖，(斯梅尔公布了自己对庞加莱猜想的五维空间以及五维以上的证明，一下子就引起数学界的轰动。
因此，斯梅尔获得1966年菲尔茨奖。)
1986年菲尔兹奖，(授予证明四维庞加莱猜想的弗里德曼)
1982年菲尔兹奖，(授予瑟斯顿，奖励他引入了几何结构的方法对庞加莱猜想三维流形进行切割)
2006年菲尔兹奖，(授予佩雷尔曼，奖励其用瑞奇流方程证明三维庞加莱猜想)
问: 庞加莱猜想证明成功的意义？
答:佩雷尔曼的工作给很多搞拓扑的人提供了瑞奇流研究的饭碗，并引发了弦理论的第三次革命，在医学成像上应用很广泛了。
庞加莱猜想的证明让微分几何和代数拓扑迎来了一个新时代，用陶哲轩自己从偏微分方程角度评价，是非线性方程的一个里程碑。
庞加莱猜想虽然促进了瑞奇流领域数学研究的火热，促进了数学家就业。但也造成了低维拓扑学研究工作者失业问题。
2 同伦同调技术:
上面我说过，开创的同伦同调技术，尤其是高维单值化定理的证明推广，成为现代代数几何，乃至数学，理论物理最重要的基石之一，影响到多维时空的研究与发展！而且普遍认为，在未来的物理学的关键性突破，必须源于透视拓扑的更根本的性质，必须拓扑学有重大突破才能够诞生新的物理飞跃。
这个过程中的研究会促进数学和物理学科的发展，吸引数学家加入这个领域研究，给大量数学家留下工作研究的饭碗。
庞加莱对后世数学家就业问题创造的工作岗位仅次于希尔伯特，黎曼和格罗藤迪克。
庞加莱为什么不如黎曼？
简评：事实上，庞加莱学术尤其是拓扑学的难度远超黎曼，而且在数学与物理的综合个人总战绩中也远超黎曼。但是为什么庞加莱比起黎曼还是差了一个档次呢？
首先，我们这里是比较数学成就，不论物理成就综合。
其次，也是最重要的，就是庞加莱最重要最具代表性的成果的创造拓扑学，完成度和深度依然较粗糙，远不及黎曼在几何上的完成度和深度。庞加莱之后，拓扑学基本已经是一门快要死亡的学科了，研究已经变成一潭死水；而黎曼的学说思想，迄今仍然在给数学家们无数有益启发，已经成为基础性的数学语言平台，所有的数学家都在此基础工作。
换言之，虽然因为时代的原因，庞加莱工作难度更大，但黎曼的目光更深邃，思想更深刻，这就犹如黎曼不但找到了一座巨大的金矿，不但自己挖出了金子，而且给了后人指点了上山的路，并提供挖掘金矿的工具和方法，而后人沿着黎曼的指引和使用黎曼提供的工具，迄今不断开采出黄金。
庞加莱则是相当于也发现了另外一座巨大的金矿，却发现金矿在悬崖上，庞加莱自己也没能爬上去金矿，也没找到路，于是用钩子吊绳之类工具，于是也自己也开采了一些金矿出来，后人用庞加莱的办法也弄了一些黄金出来，但这座巨大的金矿的依然藏在悬崖上，庞加莱既没有指出上山的路，也没有提供更有效的工具，后人只能对着巨大的金矿望洋兴叹而无能为力！
这个就是庞加莱不如黎曼，庞加莱和黎曼有接近一档次的差距的原因！
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