一元二次不等式的求解

前面的话

     今天在后台发现了两位学生给我留的言，大致内容是需要讲一讲关于一元二次不等式的求解问题，我个人觉得是合伙发送的，要不然怎么一模一样（狗带摊手）

     一元二次不等式的求解在初升高阶段还是蛮重要的，即使暑假阶段不讲，在开学的前一个月老师也是要往死里讲。因为在这一方面存在着太多的变数了，简单点的看一眼就会，难一点的就可以放在压轴题了，题目变换溜得很呐！

     那接下来的一段时间我们就这个话题展开来好好地给各位讲一讲！

     我们先就x²-5x＜0这个一元二次不等式来进行讲解一下，首先看一下这个图形：

     首先这个图形是由x²-5x＜0这个一元二次不等式演变成二次函数y=x²-5x并使其所取y值是小于0的，这就相当于高中数学四大数学思想中的转化思想一样。因此题目变成这里的y＜0。

     首先使题目中x²-5x=0得出x=0或5，又要使选取x的值时使其对应的y值大于0，则选的是在0到5之间，所以是x∈（0,5），如下图所示（注意哦，黑色的两个圈是代表着空集，表示取不到的意思，因为毕竟是＜而不是≤）

     那如果是x²-5x＞0呢？如下图：

     那么结果就是x＜0，x＞5了！

     好了各位，有了上面的这个经验，我想是必须要拓展一下了，一起看一看下面这道题，x²-2x-3≥0的解集：

     哈哈，感觉好low啊（我已经放大数轴，解集已经弄出来了），应该是很简单的东西，所以各位相对于这样的一个题目应该都很清楚了吧！做这类题目首先应该想到的是是否能够提取公式因，十字相乘等等以此来降低题目的难易程度，要不然会很复杂！我们来做一做以下的几个题目：

x² -x-6>0 

x²－2x－15＞0 

4x²-4x +1>0

     我们就以上面第二个为例吧，画个图形让大家了解一下：

     以上的题目大家有没有发现，都是和x轴有两个交点的（△＞0），所以自然图像就是那个样子了，好进行区分正负了。那么如果与x轴只有一个交点（△=0）或者说是没有交点（△＜0）呢，我们该怎么办？我们一起来看看一下下面的这个图形，自然会一目了然的：

     我们一起结合图像来看一下是否存在一个x的值使其所对应的y值是小于0的，“扪心自问”是没有的，哪怕是取x=1时对应的y值也是等于0的！那我们这时候就认为若要使ax²+bx+c＞0 (a>0) 时则x是取1以外的所有实数的。若是下面的这种情况则是x∈R的，因为x取任何数都是可以的。

     上面利用图像给大家讲完了这些想必都很清楚了，这也是高中数学当中数形结合的最基础的一个妙用。在接下来的一段学习过程中进行不断的练习让自己脑中生成图像，不知不觉中就会越发的熟练了！

      讲到这边自然得来一个小结了：

     解一元二次不等式ax²+bx+c>0、ax²+bx+c<0 (a="">0) （标准形）的步骤是： 

     (1)化成ax²+bx+c>0 (a>0)、ax²+bx+c<0 (a="">0)  标准形式  

     (2)判定△的符号；

     (3) 求出方程ax²+bx+c=0 的实根;（画出函数图像）

     (4)（结合函数图象）写出不等式的解集.

     一般的总结性结论如下图所示：

     再等等各位，原本是应该结束了，在这边又有一位学生发来“贺电”，电文是：讲讲分式方程的解法！！！

     (⊙o⊙)…额，根据经验，该学生应该指的是分式不等式的解法。

     首先我们来看一下这个考点的基本定义是：分母中含有未知数的不等式。话不多说，我们直接上题。

     根据前面解题的一般习惯，一方铁定是要化简成0的，所以应该先移项然后通分得：

     正如大家所视：到了这一步是不是就和上方那个一元二次不等式一样子了呢？通过这个解题过程我们也可以进行一下总结了：

     ①移项、整理、变形，化未知数系数为正；

     ②利用商与积的符号相同，转化为解整式不等式；

     ③求解整式不等式。

     一般地，分式不等式分为三类：

     根据上面的过程解决下面的三道题：

     好了各位，今天的知识点讲解就到这边，我们下次见。有不会的或者急切想要了解某方面数学知识的可在公众号对话框里面给我留言！