（系列文章之六）
百花齐放的拓扑态：拓扑晶体绝缘体和拓扑半金属
戴希
TKNN指数可以用来刻画任意二维绝缘体系统的拓扑特性，Z2指数可以同来刻画具有时间反演对称的二维绝缘体的拓扑特性。这里面蕴含了很深刻的对称性和拓扑分类之间的关系，如果不对体系的对称性做任何限制，那么二维绝缘体只能按照TKNN指数分类，也就是每一个整数C代表一类，其中所有具有时间反演对称的二维绝缘体都被统一分在TKNN指数C＝0的类里面。按照拓扑学的基本原理，被分在同一类中的个体（这里指体系的波函数）都在连续变形下彼此等价。然而如果利用对称性对系统的连续变形做进一步的限制，比如要求连续变形过程限制在满足时间反演不变的子空间里，则有些原本彼此等价个体，由于连续变形的受限而变得不再等价，于是这些TKNN指数等于零的二维绝缘体又可以进一步按照Z2指数分为奇偶两类。同理，我们还可以进一步加入各种晶体对称性，对连续变形做更高的对称性要求，从而获得更加丰富的拓扑晶体绝缘体，如镜面陈数（Mirror chen number）绝缘体和Hour Glass绝缘体等。从中我们可以看到，体系受到的对称性限制越多，则拓扑分类越为丰富，如图一所示。沿着这个方向，用拓扑学的观点来重新审视各类材料的电子结构，是目前发展非常迅速的领域，结出了累累硕果。
图一，二维绝缘体的分类
前面介绍的是绝缘体系统的拓扑分类问题，对于绝缘体来说，其布里渊区被整数条能带所占据，从微分几何的观点看，是一个定义在轮胎面上的纤维丛，所有的拓扑分类研究都缘此而来。那么能不能把拓扑分类研究推广到金属体系呢？简单的推广马上就碰到问题，在金属中波函数在布里渊区的分布是不连续的，在布里渊区的某些区域占据着N条能带，而在另一些区域则可能占据着N+1或N-1条能带，这些能带占据上出现的“断层”，则构成金属中最重要的元素-费米面。显然对于金属体系而言，我们不能把整个布里渊区及其上的占据波函数当作分类对象。那么对于金属来说什么是合适的分类对象呢？费米面及其上占据的波函数，似乎是一个比较合理的选择。目前针对金属体系的普遍拓扑分类问题，还没有一个明确的答案，但对于一类特殊的金属体系-半金属，我们已经取得了突破，这就是大家都听说过的拓扑半金属，它又可以分为外尔半金属、狄拉克半金属、节线半金属和多重点半金属等等，其中外尔半金属是最基本的，本文的介绍也主要围绕它展开。
所谓外尔半金属，就是两条不简并的能带在三维空间相交在一个k点上，这个k点就是外尔点。可以从多种角度出发去理解外尔半金属，首先它可以被看成是一种特殊的金属，其特殊性在于它的费米面被缩成了三维空间中的一个点-外尔点；同样外尔半金属也可以被看成是一种特殊的绝缘体，除了几个孤立的外尔点以外，它在布里渊区的其他区域内都具有有限的能隙。在固体的能带结构中，这样的外尔点是由能级的“偶然简并”造成的，由于外尔点的位置并不在布里渊区的任何高对称点和线上，这种简并与晶体对称性导致的简并是完全不同的。这种看似“偶然”形成的简并点，在传统的固体物理中并不受重视，因为它是不稳定的，在哈密顿量中加入一个小的微扰项就能在原先的简并点处打开能隙。然而，对于三维体系，加入微扰项消除原有简并点的同时，在邻近区域又会产生新的简并点。其原因很简单，两条能级发生简（交）并（叉）的独立条件有三个，对应于三个彼此独立的2*2厄米矩阵（泡利矩阵），而在三维体系中，有三个独立的动量kx，kx和kz，因此由三个独立条件可以确定三个动量参数。因此，上述数学问题在一定参数范围内总是有解的，对哈密顿量进行连续变形，只能移动外尔点的位置而不能马上消除它。那么如何能真正消掉一个外尔点呢？唯一的方法是通过连（施）续（加）变（微）形（扰），把两个“手性相反”的外尔点移动到一起，然后它们就能像粒子物理中的正反粒子一样湮灭了。这么看来，外尔点很像我们第一篇文章介绍的涡旋，只有正反涡旋相遇才能相消。事实上，外尔点正是出现在动量空间中的奇点。
在某个特定的外尔点附近，在对空间坐标重新标度以后，体系的低能有效哈密顿量正是大名鼎鼎的外尔方程，那是ETH的外尔教授在上世纪20年代提出来描写无质量费米子的运动方程。外尔方程有一个非常重要的特性，就是它的解具有特定的手性，也就是粒子的自旋运动总是严格绕着质心平动方向进行，因此可以分成左手（图一(a)）和右手图一(b)）两类，其相应的自旋指向分别反平行和平行于动量方向k。
图二，两种手性的外尔费米子
这就是外尔点手性的起源，当然在凝聚态物理中，外尔点的“自旋”并非电子真正的自旋，而是所谓“赝自旋”，这一点需要反复强调。把外尔点附近的元激发看成是一种无质量的费米子，是一种典型的粒子物理的视角。而从凝聚态物理的视角则可以把它看作是贝里曲率的奇点，如果说贝里曲率可以被看作是动量空间的磁场，那么外尔点就是这种磁场对应的磁单极子。关于贝里相位和贝里曲率，这里补充说明一下。对于固体中的能带电子态而言，贝里相位
从贝里曲率的观点看，TKNN指数就是它在二维布里渊区内的面积分，或者说是流过整个二维布里渊区的“磁通量”。利用微分几何中的斯托克斯定理可以证明这个积分必须是2π的整数倍,也就是TKNN指数乘以2π。利用贝里曲率还可以非常简洁地证明外尔半金属的一个重要特性，即固体能带中的外尔点都是手性一正一反成对出现的。这其实又是紧致性的一个体现，这次体现在布里渊区本身，大家知道在布里渊区中的晶体动量相差一个倒格矢是完全等价的，就跟相位空间相差2π一样。然后让我们来考察下图所示的三维布里渊区，在其中取kz为常数的平面。这样的平面可以看作是某一个二维体系的布里渊区，上面提过外尔半金属也可以看成是某种特殊的绝缘体，其能隙只在有限的几个外尔点关闭，那么对于某个特定的kz方向截面而言，只要其中不包含外尔点，那么这个截面就是一个二维绝缘体系统的布里渊区，可以定义其TKNN指数（陈数）,记为C(kz)。接下来要证明的是当kz方向截面穿过某一个外尔点时，按照该外尔点的手性，其TKNN指数（陈数）将跳变+1或-1。为证明这一点，让我们来考察图三中由跳变前后的两个kz截面（红色截面）以及四个侧表面所组成的长方体。显然这个长方体是一个三维空间中的封闭曲面，并且包围着一个孤立的外尔点，如图三所示。前面讲过，从贝里曲率的观点看，外尔点是贝里曲率或者说是动量空间磁场所对应的”磁单极子“，满足高斯定律，即流出任何一个封闭曲面的“磁通量”积分等于其中包围的”磁单极子“也就是外尔点的总”磁荷“。而对于上图定义的长方体而言，很容易证明通过四个侧表面流出的“磁通量”两两互相抵消，原因是由于布里渊区的紧致性，左边侧面等价于右边侧面，所以左边流出的“磁通量”严格等于右边流入的“磁通量”，同理前后侧面流出的“磁通量”也将互相抵消。于是高斯定理告诉我们上下表面流过的“磁通量”之差，必须等于被夹在其中的外尔点的“磁（手）荷（性）”，而前面说过上下表面可以看成是二维布里渊区，其上流过的总“磁通量”积分就等于TKNN指数（陈数），所以这就证明了当kz方向截面穿过某一个外尔点时，其TKNN指数（陈数）将发生由该外尔点手性所决定的+1或-1的跳变。然后再让我们来考察当kz从整个三维布里渊区的下底面kz＝-π演化到上底面kz＝π时，定义在相应kz截面上的TKNN指数的变化，又由于布里渊区的紧致性上下底面是严格等价的，也就是说它们的TKNN指数是一样的，于是从kz＝-π到π，跨越整个布里渊区的过程中遇到的所有外尔点的“磁（手）荷（性）”相加必须等于零。这就证明了在任何格点体系中，外尔点必须是一正一反成对出现的，以保证整个布里渊区内的总“磁（手）荷（性）”为零。
图三，总是成对出现的外尔点。
表面上的费米弧是外尔半金属中出现的另一个奇异物性。所谓费米弧，指的是开放费米面。在金属中，费米面的定义就是准粒子能量等于化学势的等能曲面。在普通二维金属中，由于能带色散是连续函数，所以它的等能线通常是闭合的。而外尔半金属的表面态则很特殊，它虽然也是一个二维体系却不能脱离三维体材料而单独存在。本质上，外尔半金属表面态形成的费米面仍然是封闭的，只是另半边费米弧通过体内的外尔点连到了下表面，如图四所示。
图四，外尔半金属表面的费米弧。
这种特殊的费米弧其实也不难理解，让我们来考察图五(a)中包围着一个外尔点的圆柱体，再啰嗦一句，这个圆柱体其实是一个轮胎面，因为上下底面等价，所以它也可以被看作是某个二维体系的布里渊区。于是再一次利用高斯定理，我们可以得到，穿过这个圆（轮）柱（胎）体（面）的总“磁通量”积分，也就是该二维体系的TKNN指数，等于被围于其中的外尔“磁荷”总数。具体到图五(a)的情况，假设被围的外尔点手性为+1，那么这个二维体系的TKNN指数就是+1. 然后，我们再来考察在z方向形成的表面，图五(a)中的圆（轮）柱（胎）体（面）投影到该表面形成一个圆环，围着外尔点的表面投影点，如图五(b)中红线所示。这个圆环就是上述TKNN指数为+1的二维体系的边缘布里渊区，而我们知道这样的二维体系会有一个单向色散的边缘态，就像量子霍尔效应或量子反常霍尔效应体系一样。于是在上述红色圆环上就只有一个费米点，记住这一圆柱体的半径是可以改变的，只要它围着同一个外尔点，于是在表面布里渊区内每一个包围同一个外尔投影点的圆环上都有且只有一个费米点，把它们连起来就形成了一段开放的弧线，不难证明这段弧线只能终止于另一个手性相反的外尔点投影，如图五(b)所示。对于绝大多数外尔半金属材料而言，费米能都没有那么巧，正好穿过外尔点，总是有一点偏差，由此形成有限大小的包围着外尔点的三维费米面，投影到表面就形成图五(b)中的蓝色区域，盖住了相应的外尔点投影。利用刚才介绍的取圆柱体的分析方法，不难证明，只要覆盖不同手性外尔点的三维费米面投影，（如图五(b)中的两块蓝色区域），并不彼此相连，那么虽然说在蓝色区域之内的表面态不再受到拓扑保护，但在蓝色区域之外必然存在一段受到拓扑保护的费米弧存在。这一点请从事角分辨光电子能谱研究的同事切记。
图五（a）三维布里渊区中的一个外尔点 （b）在表面布里渊区的投影
金属的最大特点是会导电，体现于它在外加电磁场下的响应，而外尔半金属的响应则跟普通金属非常不同。在文献中，大家经常可以读到两个互相联系而又有所区别的效应，即手性反常(Chiral anomaly)和手性磁效应(Chiral magnetic effect)。手性反常指的是具有特定手性的外尔费米子数目，在平行磁场和电场的作用下不守恒，由于在实际固体材料中外尔点是成对出现的，所以这种不守恒不会导致整体电子数不守恒，而是把一种手性的电子转变成另一种手性。而手性磁效应则是指在静磁场下，某个特定的外尔点附近的电子态会贡献一种特殊的电流，根据外尔点手性的不同，这种电流平行或反平行于磁场方向。手性磁效应最奇特的地方在于这种手性电流严格由磁场方向和外尔点的手性决定，与任何晶体方向或其他材料细节无关，是一种典型的演生现象。由于固体中的外尔点总是成对出现，在平衡态下，不同手性的外尔点贡献的电流严格抵消，体系的宏观电流为零。而一旦在外场驱动下，形成非平衡态，造成不同手性的外尔点处的化学势不相等，则手性磁效应就会导致上述手性电流，比如在平行磁场和电场的作用下，手性反常效应造成不同手性的电子之间出现化学势差，而进一步由手性磁效应形成平行于磁场的电流，在实验上体现出来就是当电场平行于磁场时出现负磁阻。这是手性磁效应在直流输运中的体现，当然这种不同手性外尔点之间的不平衡也可以由其他外场来驱动，如最近我们提出的利用光场和声子场驱动的手性磁效应。
目前，对于包括外尔半金属在内的各种拓扑半金属的研究方兴未艾，除了特殊的表面态以外，对其输运和光学性质的研究是其中最迷人的部分，特别是在磁场下的行为，与传统的金属和半导体都截然不同，是大有可为的创新领域。
作者简介
联系客服
