常言道：世界唯一不变的就是变化。其实，还有一个永恒不变的东西——数学。
无论是物理定律、化学方程、生物基因，还是人工智能、社会研究、经济计量等等，都需要用数学描述，甚至有一派观点认为，这个世界的本质就是数学，因为万物由原子组成，原子由质子、中子和电子组成，这些又由夸克等基本粒子组成，而基本粒子分解到尽头就是数学结构。这个世界如此完美的符合数学逻辑，令人惊叹，但它又充满了变化和不确定，以至于随机和概率成了世界的常态和底色。今天我们就来聊聊这个底层的数学思维。
概率思维的整体视角
我们开车出行会提前规划路线，投资股票、基金会考虑涨跌，就连买彩票也会看看哪个号码出现的可能性更大，这些背后都有意无意地用到了概率思维。其实我们每个人都有概率意识，只是缺少对概率的深入理解和感知。
概率思维解决问题的基本思路就是把局部的随机性转换为整体的确定性，以得出大致确定性的判断。比如，普通人买彩票是随机的，但发行彩票机构的收益率是确定的；道路上发生的交通事故是随机的，但一个城市一年的事故率是大致确定的。所以概率不是预测下一次会发生什么，而是从整体视角看问题，以刻画事物的整体确定性。
两个概念
了解概率思维，必须弄清两个核心概念：随机和独立性。他们如同支撑概率理论大厦的两根不可或缺的立柱。
我们平时玩游戏可以选随机英雄，听音乐可以选随机播放模式。随机是事情结果的不可预测，但有别于日常说的“不确定”。随机和不确定主要差异在于事情的结果是否可知。比如玩王者荣耀，随机是指可选的所有英雄已知，但某次具体选到哪个英雄不知道，而不确定是指可选的英雄有哪些都不知道。再比如，上大学遇到的第一个同学的名字就是不确定，而不是随机，因为遇到的同学可以是张三，也可以是李四......，无法穷尽所有可能的结果。
只有确定了全部可能的结果，才能分析它们的概率，否则就无法使用概率，这是概率思维的边界。概率处理的是随机性，而不是不确定性，所以概率可以用来分析灰犀牛，但不能预测黑天鹅。
随机事件之间的关系，要么具有独立性，要么具有非独立性。正确判断随机事件之间的独立性与否，是分析和度量概率的前提。抛硬币是一个典型的独立事件，每次抛的结果互不影响，而网络效应则是一个点典型的非独立事件，比如淘宝平台，买家与卖家互为影响，买家越多，会吸引更多的卖家，反之亦然。每次彩票结果其实就是一个独立事件，不受前期结果的影响，若你真正理解了独立性，想必以后不会再去买彩票了。
概率分布
抽象是数学解决问题的基本方式，也是连接现实世界和数学世界的桥梁。如果一类事物呈现出相同的现象，我们就可以把这种现象抽离成一个数学量，这大体就是抽象的含义。通过抽象和数学逻辑的确认，事物的现象就可以上升到我们常说的规律，具有了通用性。
在处理随机事件的问题上，抽象出来的数学量称作“随机变量”。
换句话说，就是把随机事件所有的结果抽象成一个数字，每个数字对应一个概率，这个随机变化的数字就是随机变量。通过随机变量，我们就可以把现实世界和概率世界连接起来。
要探究一个随机事件的规律，我们直接分析其对应的随机变量这个具体的数字变化即可。比如，研究一个城市的居民年均收入情况，可以将其分为5万以下、5万-10万、10万-30万、30万-50万、50万-200万、200万以上等6个等级，每个等级就是随机变量的一个结果，把随机变量所有的结果和它对应的概率全部统计出来后，我们就得出这个城市居民年均收入的概率分布。
由此，我们可以看到概率分布就是通过从整体上描述一个随机事件所有可能的结果和对应的概率分布，提供整体上的确定性。这样，我们就可以鸟瞰世界，从整体上把握一件事的基本轮廓，以便做进一步的探索。
常见的概率分布有正态分布、对数正态分布、幂律分布和泊松分布等，他们代表某些随机事件特有的变化规律。比如，人的身高、体重和智商都服从正态分布，而网络流量和个人财富则都服从幂律分布。
正态分布图
对数正态分布图
幂律分布图
正态分布是概率分布中最重要的分布，没有之一。因为大量独立的随机变量相加，其结果必定会趋向于正态分布；同样，任何分布叠加最终也都会形成正态分布，这是由中心极限定理和大数定律决定的。
幂律分布在现实生活中也很普遍，常说的“二八法则”就是其一个十分直观的表现。比如，全社会80%的财富集中在20%的人手里，一个行业80%的利润被20%的头部公司攫取等。幂律分布是一条向下的曲线，拖着一个长长的尾巴，它的数学特征只有一个，就是无标度，也叫“无尺度”。即在任何观测尺度下，幂律分布都呈现同样的分布特征。比如个人财富的分布，在一个国家、一个城市，甚至一个村子，都服从幂律分布。形成幂律分布的因素有很多，比如自组织临界、渗流模型和优先连接等，但最关键的两个因素是其数值上限趋于无限和随机变量的非独立性。由于幂律分布隐藏着财富和名望的秘密，作为个体，它充满了诱惑。
正态分布和幂律分布是两个极其重要和普遍的概率模型，我们可以从随机变量之间的两种关系做一个简单地区分，即“独立” 和“相加或相乘”。凡是多个独立随机变量相加的事件，结果就是正态分布。而多个独立随机变量相乘的事件，它的分布是对数正态分布，介于幂律分布和正态分布之间。幂律分布则是由非独立的随机变量相乘的结果。正态分布下，你不用担心会有什么极端的情况发生，而在对数正态分布和幂律分布下，你就必须做好应对极端情况的准备。
概率与系统思维
从某种意义上讲，现代社会就是建立在数学这颗大树上，她先是分枝了物理学，进而长出化学、生物学，后来又有了现代医学、经济学等等，最终催生了现代工业文明。概率论作为数学的一大分支，在现实生活中又具有很强的普遍性，所以我们有必要做一番了解，但限于篇幅，如条件概率和贝叶斯定理等同样实用有力的思维武器，以后再作讨论。
NBA有句名言：训练时，用正确姿势投丢的球比用错误姿势投进的球，更有价值。还有个概率算式想必都听过：1.01的365次方是37.8，而0.99的365次方是0.03，原本两个初始概率相差无几，但只要加入“时间”这一个变量，长期结果则判若云泥，正所谓“差之毫厘，谬以千里”。
这些都在告诉我们一个道理：相信系统，坚持长期主义。这是概率思维赠给我们的礼物。只要决策系统有概率优势，我们就应该相信系统，长期坚持，而不要在乎单次决策结果的成败，即重视过程，而非结果。
这应该成为一个科学决策者的思维品质。
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