沪教版“一次函数的概念”的教学实践为例

经历过程 渗透思想 发展能力

——以沪教版“一次函数的概念”的教学实践为例

张爱平（江苏省南京市金陵汇文学校）

摘要：一次函数的概念是学生学习函数的基础，结合实际问题体会一次函数的意义是学生的学习目标，从实际问题中抽象出一次函数模型，归纳一次函数概念，辨析并应用一次函数概念是学生学习的主线，引导学生经历一次函数概念的形成过程，渗透数学思想及方法，发展学生数学思维能力并积累数学活动经验成为提高课堂教学品质的内在要求．

关键词：问题情境；观察分类；辨析应用；数学思想；思维能力

一、教学背景

概念是反映事物本质属性的思维形式，正确的概念是科学抽象的结果. 数学概念是数学的逻辑起点，是学生认知的基础，是学生进行数学思维的核心，在数学的教与学中具有重要的地位．笔者曾受邀参加上海市教育委员会组织的“讲台上的名师——初中数学专场”教学研究活动，设计并试教了上海教育出版社《义务教育教科书·数学》八年级下册“一次函数的概念”一课，尝试对数学概念教学进行实践研究，以期获得对数学概念教学的基本认识．

学生在学习本节课之前已经历了函数、正比例函数、反比例函数的学习，对函数概念以及函数研究的内容和方法有了初步的体验. 对于“一次函数”的内容，是从特例正比例函数到一般形式的一次函数的扩展，是关于函数研究的再一次演练，一次函数的概念是整章内容学习的基础，本文就“一次函数概念”的教学设计、教学实施及教后反思与同仁们交流．

二、教学设计与实施过程

活动1：创设问题情境，建立函数关系

情境1：从南京来上海，高速公路全程274 km．在高速公路上开车所花时间t与平均速度v之间有怎样的关系?

【设计意图】这里创设的问题情境中没有直接给出问题，而是要求学生类比前面的学习过程，自主提出问题，并解决问题，具体落实《义务教育课程标准（2011年版）》（以下简称《标准（2011年版）》）中关于培养学生发现并提出问题、分析并解决问题的能力要求，并将这一要求渗透在平时的课堂教学过程中．通过八个问题情境的解决，得到较为丰富、感性的材料，为归纳概念提供素材，便于学生对概念对象进行鉴别，抽象得到概念．

活动2：观察与分类，归纳函数概念

从上面的问题中，可以得到下面的函数解析式：

师：你能否用一个统一的解析式将上面这些函数解析式表示出来？

生11：可以用y＝kx＋b来表示．

师：这里字母k，b有什么要求？自变量x的取值有什么要求？

生12：k≠0，k，b是常数，x取一切实数．

课堂教学中有学生提出x≠0，引起学生的激烈讨论，最后大家认识到当x＝0时，y的值随之确定，y＝b．

师：给这种函数取个名字，可以叫做什么函数？并给这种函数下定义．

生13：根据前面的讨论，可以取名叫做“一次函数”，其定义可以这样描述：解析式形如y＝kx＋b(k≠0，k，b为常数)叫做一次函数，x是自变量．当b＝0时，一次函数y＝kx就是正比例函数．

【设计意图】通过对八个具体函数的分类，分析它们的共同特征，将一次函数概念的本质属性外显，为概念的形成提供丰富的认识过程，在学生尝试、修改的过程中进行归纳，并用严谨的语句表述概念的内涵，体现概念形成过程的严谨性．

师：能否用图形表示一次函数？

三、教学思考

数学概念学习是对一类数学对象的本质属性的概括抽象，是不断感知经验的活动过程，是主体对客体不断加工、修正，最终达到主体对客体的建构过程，其核心是抽象．在本节课中，设置适量的问题情境，学生经历从具体问题情境到数学概念的抽象过程，经历一次函数概念归纳和概括过程，体会数学思想和方法，发展数学思维能力．

1．经历概念形成过程，积累概念学习的基本经验

（1）创设适量的问题情境．

布鲁纳指出，学习者在一定问题情境中，经过对学习材料的亲身体验和发展过程，才是学习者最有价值的东西．本节课创设八个实际情境，从中建立了八个具体的函数关系，对这些函数的特征进行分析，并抽象得到一次函的数概念．若感性材料太少，学生对概念的感知就不充分，就难以对概念中各个要素进行全面界定和鉴别，对概念的本质属性和无关属性比较不充分，概念形成的基础就不坚实．

（2）确定合理标准进行分类．

根据自变量指数的不同，通过对八个具体函数的分类，将函数解析式右边关于自变量的一次整式的一类函数的特征抽象出来，用一个统一的解析式表示，进而归纳出一次函数概念，去掉与一次函数概念无关的属性．

（3）在不同类型问题中进行概念的外延界定．

通过四道关于一次函数的判断问题，对概念的外延进行界定，较好地认识、理解、应用概念，其中例1是对函数解析式的直接判断，例2是对函数解析式中参数进行分类讨论，例3，例4是以具体问题为载体进行一次函数的辨析，学生由知觉到感觉，形成感性认识，进而获得对一次函数概念的理性认识，积累概念学习的基本经验．

2．在概念学习中体会数学思想和方法的渗透，发展数学能力

在概念学习过程中，要关注数学思想方法的渗透，培养学生的数学学习能力，发展学生的数学思维能力.与具体的数学知识相比，数学思想和方法的渗透成为学生学习的暗线，发展学生的数学能力是教学的重要目标．

（1）体会数学思想方法的渗透．

亚里士多德说过，数学家用抽象的方法对事物进行研究，去掉感性的东西，剩下的只有数量和关系．本节课从实际问题中建立各种函数模型，分析得到一类函数的共同特征，从这些共同特征中归纳一次函数的本质特征，概括一次函数概念，从而经历一次函数概念的抽象过程，感受数学的简洁之美，体会抽象思想．用几何图形固定不变的部分和匀速变化的部分分别表示一次函数y＝kx＋b中的kx和b，便于直观理解、比较抽象的k和b的意义，根据数与形之间的对应关系，使抽象问题具体化，也为后面理解函数图象中直线的倾斜程度（平均变化率）做好准备，体会数形结合的思想方法．

（2）关注数学能力的提高．

在本节课中，完成情境1，情境2中的问题后，引导学生类比提出情境3，情境4中的用函数关系表达的问题，发展学生自主发现问题、提出问题的能力，将《标准（2011年版）》要求渗透在平时的教学过程中；在建立函数关系的过程中，将实际问题中的变量关系用符号表示，建立简洁的函数解析式. 确定自变量取值范围时，需要根据自变量的实际背景，建立方程或不等式模型，在对相同函数解析式的不同背景的理解中体会模型的应用价值，提高学生的建模能力，发展学生的数学能力．

参考文献：

[1] 中华人民共和国教育部制定．义务教育数学课程标准（2011年版）[M]．北京：北京师范大学出版社，2012．

[2]李善良．现代认知观下的数学概念学习与教学[M]．南京：江苏教育出版社，2005．

[3]孙福明，承锡生，徐淮源．课型范式与实施策略·中学数学[M]．南京：江苏教育出版社，2012．

[4]张爱平．基于数学本质的概念教学活动的实践与思考：以“全等图形”的教学为例[J]．数学通报，2012（2）：23－26．

[5]王飞兵．例谈初中数学概念教学的基本步骤[J]．中国数学教育（初中版），2014（3）：22－25．