阅读与思考
婆罗摩笈多(Brahmagupta),是一位印度数学家和天文学家,书写了两部关于数学和天文学的书籍,他的一些数学成就在世界数学史上有较高的地位,他的负数概念及加减法运算仅晚于中国《九章算术》,而他的负数乘除法法则在全世界都是领先的,他还提出了著名的婆罗摩笈多定理,该定理的内容及部分证明过程如下:
已知:如图1,四边形ABCD内接于⊙O,对角线AC⊥BD于点P,PM⊥AB于点M,延长MP交CD于点N,求证:CN=DN.
证明:在△ABP和△BMP中,
∵AC⊥BD,PM⊥AB,
∴∠BAP+∠ABP=90°,∠BPM+∠MBP=90°.
∴∠BAP=∠BPM.
∵∠DPN=∠BPM,∠BAP=∠BDC.
∴…
(1)请你阅读婆罗摩笈多定理的证明过程,完成剩余的证明部分.
(2)已知:如图2,△ABC内接于⊙O,∠B=30°,∠ACB=45°,AB=2,点D在⊙O上,∠BCD=60°,连接AD,与BC交于点P,作PM⊥AB于点M,延长MP交CD于点N,则PN的长为 .
解:(1)在△ABP和△BMP中,∵AC⊥BD,PM⊥AB,
∴∠BAP+∠ABP=90°,∠BPM+∠MBP=90°.
∴∠BAP=∠BPM.
∵∠DPN=∠BPM,∠BAP=∠BDC.
∴∠DPN=∠PDN,
∴DN=PN,
同理:CN=PN,
∴CN=DN;
(2)∵∠ACB=45°,∠BCD=60°,
∴∠ACD=45°+60°=105°,
又∵∠D=∠B=30°,
∴∠DAC=180°﹣∠ACD﹣∠D=45°,
∴∠APC=180°﹣45°﹣45°=90°,△APC是等腰直角三角形,
∴PA=PC,∠CPD=90°,
在△CPD和△APB中,
∵∠CPD=∠APB,∠D=∠B,PA=PC,
∴△CPD≌△APB(AAS),
∴CD=AB=2,
∵∠CPD=90°,PM⊥AB于点M,延长MP交CD于点N,
∴同(1)得:CN=DN,
∴PN=CD/2=1;
故答案为:1.
考点分析:
三角形的外接圆与外心;含30度角的直角三角形;圆内接四边形的性质.
题干分析:
(1)由直角三角形的性质∠BAP=∠BPM.由圆周角定理得出∠DPN=∠BPM,∠BAP=∠BDC.证出∠DPN=∠PDN,得出DN=PN,同理CN=PN,即可得出结论;
(2)由圆周角定理得出∠D=∠B=30°,由三角形内角和定理求出∠DAC=45°,得出△APC是等腰直角三角形,
∴PA=PC,∠CPD=90°,由AAS证明△CPD≌△APB,得出CD=AB=2,
同(1)得出CN=DN,由三角形内角和定理得出PN=CD/2=1即可.
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