数学应该怎么学？

自从孩子上小学，我就开始思考这个问题——数学应该怎么学？通过反思自己的学习历程，观察两个孩子的数学学习，以及在三年多时间中的不断实践，终于算是初步明确了方向。

十六年数学学习反思

 

我的数学学得怎么样？不同阶段的我，有不同的评价。

 

小学时候数学总是一百分，觉得自己学得很好。直到在没接触任何数学竞赛题目，没上过任何培训班的情况下，参加了一次数学竞赛，发现自己只能做出来两道题，才意识到数学原来可以这么难。自此得出结论，自己不是竞赛的料，搞好课内才是根本。

 

到了高中，有些时候的模拟考试，最后一道大题也不一定能做出来，我就给自己定下策略：最后一道题想三分钟没思路，就先放下，检查前面的题目，确保准确率，剩下的时间再攻克最后一道难题。这个策略显然是拿不了极高分的，但可以保证一个还不错的分数。我就依靠着各科的“还不错”，跻身跃过清华录取分数线。

 

和我所在的普通中学不一样，清华人才济济，各种竞赛高手比比皆是。我这才意识到，对于他们很多人来说，高考的卷面分显然不能测出他们的真实水平，比如我们班另外一个女同学的高考数学就是149分。二十多年前的高考分数和现在不一样，满分很少，这个分数真是把我惊呆了，印象至深。我对自己的数学水平评级调整为“不行”。我们工科的数学要求在清华居中，比不上数学系、计算机系等，但比文科要难得多。在大学一年级学了两门数学课——《高等数学》和《线性代数》。大学的课程对我来说很难，尤其是《线性代数》。但最终凭借着努力，这两门课一个考了90多，一个80多。攻克这两门功课，给我在清华的学习树立了信心。

 

基于16年的数学学习经历，我觉得自己的数学还行吧，虽然比不上那些竞赛高手，但作为普通人应该还是可以的。

 

然而离开学校后，我越来越发现自己的数学水平，比自己想象中弱。

 

我从事的是非技术工作，工作中并不需要多复杂的数学应用。但我逐渐发现自己缺乏的是应用以往学到的数学知识（那些知识我都会）解决生活和工作中问题的习惯和思维方式。举几个例子来说明一下。

 和先生去订生日蛋糕，因为孩子的朋友来得比较多，需要订一个大的，发现大号蛋糕比中号蛋糕价格高很多，我随口说，大的怎么这么贵啊？是不是还没有买两个中号的划算？先生沉默了一下，说，如果中号和大号蛋糕的高度是一样的，那么体积的比值就是半径平方的比值，这么算下来，还是大号蛋糕划算。

家里暖气片坏了，需要买一个新的暖气片，我想把原先的矮暖气片趁机换成高暖气片，节省一点空间。买多大的呢？先生很快就定下来了方案，如果要和原先的暖气片制热效果一样，散热面积就要一样，这么就可以根据高度的变化算出来需要买多宽的（多少片的）。他去建材城买暖气片，销售问我们原先暖气多大，先生说他自己已经算好了，销售特别惊讶，一看算得是对的。唯一需要修整的是新旧两个暖气材质稍有不同，再加上一个热效率系数，很轻微的影响。

 

去办事排队，人很多，队很长。我排了一会儿着急了，担心时间来不及。先生说，大概还需要多少分钟到我们。我问他怎么知道，他说他观察了一下前面几个人办事的平均时间，又数了一下前面还有多少人，估算出来的。

 

在郊野碰到一棵非常高的树，孩子很好奇地问这棵树有多高。附近没有楼房，不能比较这棵树相当于几层楼高。先生用脚步丈量了旁边一棵小树的影子长度，然后又丈量了那棵大树的影子长度，然后就从小树的高度（比人高不了多少，很容易估测）推算出大树的高度。

 

以上用到的数学知识都是非常简单的，我肯定是会的，如果拿到这样的题目，我绝对能做出来。但我却不能在生活中碰到问题时，第一时间想起利用数学工具来解决。先生在大学时的数学成绩并没有我高，但他显然比我更积极地在生活中运用数学知识，包括返券打折等花样，算得清清楚楚。

 

基于自己的生活经历，我开始思考一个问题——数学学习到底对我们有什么影响？

数学的影响

 

对于绝大多数从事非技术工作的人来说，他们工作和生活中所用到的数学知识基本上就是小学范围内的。即便忘记了什么无理数、如何解三角函数、如何做几何证明题、如何多项式展开，其实也不怎么影响我们的生活。那么我们哼哧哼哧费了10年劲儿学习中学和大学的数学课，又有什么用呢？

 

最根本的原因就是选拔。通过一些抽象、有难度的学习来选拔学习能力强、智力条件好的人。就像以前奥数没取消时，小升初最硬核的证书就是奥数杯赛获奖证书，为什么？难道数学就比英语和语文重要？并不是。但数学竞赛无疑是客观度高，便于衡量、且能直接反映智力条件和学习能力的一个指标。最近刚读完一个研究超常儿童的顶级外国专家写的书，其中讲到超常儿童的一些特征，明确说到，大多数超常儿童都有惊人的数学能力。

 

然而受教育的作用不仅是“选拔”，还有一项重要的作用就是“培养”。随着社会的进步，越来越多的家长开始重视如何更好培养的孩子，而不仅仅是让孩子拿到毕业证。一个人的能力，将比毕业证更能预测他走向社会后的成功和幸福感。

 

那么从“培养能力”、“素质教育”的角度来说，作为一个“非技术工作者”，数学带给我们怎样的影响？我认为有两项：

 

第一，在生活和工作中运用数学知识解决实际问题。

数学是一种思维方式，是一个工具，是用来解决实际问题的。数学不等于做题。从阅读财务报表、到理财，到更实惠地购物，到如何更好地安排时间，都离不开数学。数学帮助我们量化，让我们能够从定性估计到定量计算，让我们更精确地认知这个世界以及进行生活、工作的安排。

除了上面分享的一些生活中的小例子，我还想分享一个工作中遇到的案例。曾经我从事的一份工作中，客户、领导都对我们的合作伙伴的质量很关心，但我们的合作伙伴数量极多，没有办法对每一个进行实时检查。一个同事就想出一个办法，随机抽取一些合作伙伴进行检查，从这个小样本来推测整体情况。这就要用到统计学的知识，抽取多少样本才够？结果的可信程度（置信区间）是怎样的？如何抽取样本才是随机？这些题目在学统计学时我做过很多，但可惜的是，我没有主动运用它来解决实际问题。

第二，锻炼抽象思维，以及学习理性分析、推导、解决问题的严谨能力。

 

毕业后，几何证明题如何做辅助线并不重要，重要的是对空间想象力的锻炼，对严谨的推导过程的锻炼。代数计算的结果以后也都会烟消云散，但我们知道“结果是不能靠猜的”，要通过严谨的计算和细致的核查才能确保质量。

 

我不想让数学仅仅沦为“选拔”的一个工具，一旦选拔结束，就抛之脑后，弃如敝履。那么给孩子的“素质数学教育”应该是怎样的呢？不管以后学文、学理还是学工，他们应该怎么学习数学呢？

孩子如何学数学

  

首先，就是让孩子对数学有兴趣。

 

讨厌数学的人非常多。很多人谈数学变色，也有很多人是出于对数学的恐惧和无力感才“被动”选择了文科。我承认个体差异，每个孩子的数学能力是不一样的，每个人的兴趣爱好也是不一样的。有些孩子就是会对数学痴迷，而有些孩子却做不到。这些都是正常的。但是，如果搞到那么多人都讨厌、害怕数学，这挺不正常的。就算不能让每个孩子都热爱数学，但是通过努力，“不害怕、不排斥”还是应该可以达到的。当然，这和家长的态度、老师的教学都是分不开的。

 

现实生活中，很多人却在走相反的方向。扼杀孩子数学兴趣、人为制造“恐惧感”，这些做法甚至已经到了学龄前。逼孩子做题（特别是非常枯燥的计算题），逼孩子报班，对孩子做错题进行惩罚、责骂。什么是对，什么是错，不能人云亦云，自己要有个判断。家长确实不可能对所有领域都精通，我的方法是，不知道就问专家。

 

在孩子入学前，我去大学同学家玩，同学的妈妈是华东某经济强省的小学特级数学教师，退休后一直在办奥数班，教学质量远近闻名。而我的同学也在中学数学竞赛获过奖。我向同学妈妈请教孩子该不该学奥数。阿姨告诉我，奥数对数学思维的拓展还是很有好处的，尤其是对数学有兴趣的孩子，学习的乐趣很大。因为我小时候没参加过数学竞赛（在那唯一一次体验和失利之后），就有点觉得孩子也不用学。但是听完阿姨的话，我决定要看孩子的状态才定，奥数不应该被妖魔化，对于有些孩子来说是很好的课内补充。我又接着问阿姨，如果要学，该什么时候学，阿姨说一二年级过早，没有必要，如果想学，三年级可以开始。当时我不知道为什么，就是记住这个结论了。后来在孩子上学的过程中才知道，一二年级基本上都在学习数学的基本概念和加减乘除四则运算。这些基本功都没有，就像手头基本的工具都没有，很难去解决一定难度的问题。

 

我还看见过一些清华毕业生的分享，他们都是中学省级、全国数学竞赛获奖者，当他们成为父母，开始关注孩子的数学学习，他们认为小孩子应该从游戏开始学习数学，有关数学的游戏很多、棋牌、桌游、生活中的场景。我本来就认为刷题非常损害学习热情，现在看到数学高手们也这么说，就更坚定了自己的想法。

 

因此，为了提升孩子的数学兴趣，我会努力寻找有意思的数学绘本、数学故事，玩一些数学相关的游戏，在生活中提出数学问题，让他们理解数学和生活的练习非常紧密。比如小姨说她每天下午都要喝一杯咖啡，假定一杯咖啡20元，那小姨一年要花多少钱买咖啡呢。顺便说，现在的小学数学课本和生活联系就很紧密。以前有好多“无意义”的应用题我都想不通什么奇葩的人会这么做，比如一个水池同时开着进水管和出水管。但现在孩子学习面积单位时，就会让孩子估算假设一平米能站16个人，那么一公顷能容纳多少人。用常见的一些地标来理解公顷的大小，比如鸟巢有20公顷。

 

其次，让孩子思考。

 

我认为相比起我们小时候的学习，现在孩子们的学习有一个重大问题，就是没机会思考。为什么？因为现在辅导班多、家教多、教辅多，孩子一不会，家长就着急，就报班，就买参考书，就给孩子讲。有一次看见网上一个帖子说某语文班好，老师总结了很多实用的知识点，比如四大名著人物关系图、重大事件、中心思想等等。我当时就想，这不就是老师把饭菜放到嘴里嚼过了，再吐出来让孩子吞下去吗？孩子什么都不需要自己总结，只剩下记忆了。

 

布鲁姆的教育目标分类有六个层次，从低到高分别是：记忆、理解、应用、分析、评价、创新。老师都给掰开了、揉碎了、总结了，孩子要做的就一件事就是记忆，而这恰恰就是最低的层次。

 

不懂学习的人以为学习是记住知识点，其实不管是学校里的真学霸，还是大教育家、大科学家（我看过多本这方面的书），都会认为其实那个知识点反而不是最重要的，而这个发现、说明、分析、尝试、验证的过程才是学习的真谛——学习能力因此而形成。前两天看见清华附中的校长说，在一些应试成绩很好的地区，孩子的学习能力反而比较差，原因就是教师的应试经验太丰富了，全都给孩子总结好了套路，让孩子避开每一个坑，其实这个过程就是让孩子失去了锻炼学习能力的机会。

 

好，再回到数学学习。语言本来就是约定俗成的用法，语文和英语都少不了大量记忆的东西，但即便这样，教的太多，孩子自己思考的太少，也会有很多损害。数学和语言学习不一样，走到了死记硬背的路上，就算废了。

 

数学课，我最怕的就是老师拿出一道例题，孩子们看了一眼没时间思考，老师就开始讲解题方法。然后布置一堆非常类似的题目，孩子们照猫画虎、照葫芦画瓢，都做的挺好。然而，在这个过程中，孩子们锻炼到了什么能力？有些孩子虽然当时理解了，但因为都是外在灌输的，没有经过自己思考，所以很快就会忘记。而有些孩子压根就没理解老师的解题方法，只是简单地模仿、套用。这样的学习把危害说低了就是浪费时间，把危害说高了，就是让孩子误解了数学，形成了错误的学习方法。

 

数学教学，我以为一定是要启发孩子们思考的。题目可以少做，但是一定要让孩子主动参与。孩子认真思考，想出来一道题，比教十道题都有益处。我也会让孩子有空时做点儿拔高难度的有意思的题，每次就一两道，有时候他一道题就要做一小时，试了很多方法都没成功。没关系，这个试错的过程本身就是有意义的（想想爱迪生发明灯泡）。我从来不告诉他答案，也从来没给他讲过题，当他卡住实在进行不下去的时候，我会给他一点启发，提示他用某种方法试一试，但过程都要靠他自己去钻研。

 

第三，课内一定要扎实。

 

我最不喜欢贪多嚼不烂。课外的东西是学有余力再去学的，前提就是课内基础很扎实，如果课内不扎实，就不要学课外。

 

课内非常重要，学会了很多概念，公式、定理。小学的这些内容还不算多，很容易记忆。到了中学公式就会越来越多，凡是死记硬背公式的，数学都学不了多好。公式记住，可以提升解题速度，但是必须要知道公式从何而来，要有推导出基本公式的能力。

 

比如孩子课内学了长方形面积的计算公式，很简单，就是长乘以宽。我问他，这个公式从何而来，你凭什么这么说？他就会把长方形划分成小方格，每一个小方格都是一个单位，这样就得出了面积计算公式。

 

课内学的浅尝辄止，危害是很大的。概念没有理解深入（概念不是讲一遍就理解了，要去体验、尝试），就去应用，以为自己会了，其实到了复杂一点儿的应用环境就会错误百出。

 

写到这里已经够长了，关于孩子数学学习的基本理念，就说到这儿。以后有机会，可以再举一些具体例子，来说说我家两个孩子的数学学习，他们性格不同、数学兴趣以及数学能力都不相同，但今天谈到的理念在他们身上都还比较适用。