初中全等50题(7):旋转变换和分类讨论思想

如图所示，菱形ABCD是由两个等边三角形拼成，点Ｐ是△ＡＢＤ内任意一点，现把△ＢＰＤ绕点Ｂ旋转到△ＢＱＣ的位置；

（１）若四边形ＢＰＤＱ是平行四边形，求∠ＢＰＤ？

（２）若△ＰＱＤ是等腰直角三角形，求∠ＢＰＤ？

（３）若∠ＡＰＢ＝１００°，且△ＰＱＤ是等腰三角形，求∠ＢＰＤ？

解题思路：

这是一道典型题目：涉及两个知识点，旋转变换和分类讨论，抓住题目中的关键点，题目本身难度不算大，注重考察学生思考的缜密性，各种情况不能遗漏。最近几年在部分地区的中考中出现好几次分类讨论的题目，有的甚至是压轴题，所以这种思想考生还是要重视的。

辅助线如图所示：连接ＤＱ、ＰＱ、ＡＰ；

根据题意，△ＢＰＤ绕点Ｂ旋转到△ＢＱＣ的位置，则∠ＰＢＱ＝６０°，同时，根据旋转性质，ＰＢ＝ＱＢ，得三角形ＰＢＱ是等边三角形。

（１）当四边形ＢＰＤＱ是平行四边形时，因为∠ＢＰＤ＋∠ＰＢＱ＝１８０°，所以∠ＢＰＤ＝１２０°；

（２）当△ＰＱＤ是等腰直角三角形时，要分类讨论：

１）当ＤＰ＝ＤＱ，∠ＰＤＱ＝９０°时，∠ＤＰＱ＝４５°，∠ＢＰＤ＝１０５°；

２）当ＤＱ＝ＰＱ，∠ＰＱＤ＝９０°时，∠ＤＰＱ＝４５°，∠ＢＰＤ＝１０５°；

３）当ＰＤ＝ＰＱ，∠ＤＰＱ＝９０°时，∠ＢＰＤ＝１５０°；

（３）当∠ＡＰＢ＝１００°，且△ＰＱＤ是等腰三角形时，易证△ＰＡＢ≌△ＱＤＢ（边角边），所以∠ＤＱＢ＝∠ＡＰＢ＝１００°，∠ＤＱＰ＝４０°；与第（２）小题相似，也分三种情况讨论：

１）当ＰＱ＝ＰＤ时，∠ＤＰＱ＝１００°，∠ＢＰＤ＝１６０°；

２）当ＰＱ＝ＤＱ时，∠ＤＰＱ＝７０°，∠ＢＰＤ＝１３０°；

３）当ＰＤ＝ＤＱ时，∠ＤＰＱ＝４０°，∠ＢＰＤ＝１００°；

小结：旋转变换，看似都在变化，其实有些要素是固定不变的，即△ＰＢＱ是等边三角形、△ＰＡＢ≌△ＱＤＢ（边角边），找到这两点，一切迎刃而解。