一道初三数学综合题，难度不小，大多数同学放弃第3问

如同，在直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=2√3，点O是边AB上的一个动点，以点O为圆心，OA为半径作圆O，与边AC交于点M，

（1）如图1，当圆O经过点C时，求圆O的直径；

（2）如图2，当圆O与边BC相切时，切点为N，求圆O与三角形ABC重合部分的面积；

（3）如图3，当圆O与边BC相交时，交点为E、F，设CM=x，判断AE×AF是否为定值，若是，求出定值；若不是，用含x的代数式表示。

分析：（1）由勾股定理解得直径等于4；由此可得∠B=30°，∠A=60°，这是后续的基础；

（2）由∠A=60°可知三角形AOM是等边三角形，则问题易解。

（3）第三问有点难度。

设AB与圆O交于点Ｑ，连接QE,如下图，

有△AEQ∽△ACF（一个直角，由圆内接四边形性质得∠AFC=∠AQE），

有对应边比例关系可得AE×AF=AC×AQ。

连接QM，△AQM∽△ABC，可得AQ/AB=AM/AC，

AQ=4-2x，所以AE×AF=8-4x，0≤x＜4/3（有第二问解得BC和圆相切时半径为4/3）

小结：对大多数学生来说，第三问有点难度，考察圆的内接四边形的性质，圆周角的性质，相似三角形的判定，变量取值范围，综合性极强。