一道初中几何题-求圆内一个角度的大小

在半圆上有两个不同的点A和B， MN为直径， C为圆心， 点P在CN上， 并且有

∠CAP=∠CBP=10°， 若圆弧MA的圆心角为40°， 那么弧BN的角度是多少？

解：如图所示我们先要证明A , C , P , B 四点共圆。

根据同弧的圆周角相等的逆定理，可以证明点ACPB是共圆的，这是因为：

∠CAP=∠CBP=10°

根据已知∠ACM=40°，利用ACPB内接圆的四边形性质有：内接圆的四边形的一个内角等于其对角的外角。

因此∠ABP=∠ACM=40°

这样∠ABC=∠ABP-∠CBP=40°-10°=30°

由于三角形ABC中有CA=CB，所以

∠CAB=∠CBA=30°

这样∠BAP=∠CAB-∠CAP=30°-10°=20°

回到内接圆的四边形CPBA，对于针对弧BP的两个圆周角有：

∠PCB=∠BAP=20°

但角PCB就是弧BN的圆心角，因此求得弧BN的圆心角为20°。

此题也可以利用三角形PCB的外角∠BPN=∠CAB=30°和已知的∠CBP=10°求出角∠BCN。