在每一条抛物线的背后,都有一系列的悲情故事。很多学生因为学不懂二次函数而垂头丧气,有的学生因为二次函数导致自己不能获取高分而愤恨不已。那么,这个被抛物线搅乱的美好的数学学习生活,我们能否通过二次函数的学习把成绩捞回来呢?
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一、选择题
1.②函数图象与x轴有两个不同的交点,得△=b2﹣4ac>0;③当x=﹣1时,a﹣b+c>0,当x=﹣3时,9a﹣3b+c>0,得5a﹣2b+c>0;④由对称性可知x=1时对应的y值与x=﹣4时对应的y值相等,当x=1时a+b+c<0,4b+3c=3b+b+3c=3b+3a+3c=3(a+b+c)<0;∴b=3a。
2.点评本题考查二次函数的图象及性质;熟练掌握从函数图象获取信息,将信息与函数解析式相结合解题是关键.
3. 分析由抛物线的开口方向判断a与0的关系,由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系,然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理,进而对所得结论进行判断.点评考查了抛物线与x轴的交点,二次函数图象上点的坐标特征,二次函数图象与系数的关系.二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定由抛物线开口方向、对称轴、与y轴的交点有关.
4. 分析找到最大值和最小值差刚好等于5的时刻,则M的范围可知。点评此题考查了二次函数与几何图形结合的问题,找到最大值和最小值的差刚好为5的m的值为解题关键.
5.点评本题考查了一次函数的图象、反比例函数的图象以及二次函数的图象,解题的关键是根据一次函数与反比例函数的图象找出a、b、c的正负.本题属于基础题,难度不大,熟悉函数图象与系数的关系是解题的关键.
6. 分析根据变换前后的两抛物线的顶点坐标找变换规律.点评此题主要考查了次函数图象与几何变换,要求熟练掌握平移的规律:左加右减,上加下减.
7. 分析根据二次函数的图象和性质依次对各选项进行判断即可.点评本题考查二次函数的图象与性质,解题的关键是熟练运用二次函数的图象与系数的关系,本题属于基础题型.
8. 分析直线与抛物线联立解方程组,若有解,则图象由交点,若无解,则图象无交点。
二、填空题
10. 分析①把y=m+2代入y=﹣x2+2x+m+1中,判断所得一元二次方程的根的情况便可得判断正确;②根据二次函数的性质进行判断;③根据平移的公式求出平移后的解析式便可;④因BC边一定,只要其他三边和最小便可,作点B关于y轴的对称点B′,作C点关于x轴的对称点C′,连接B′C′,与x轴、y轴分别交于D、E点,求出B′C′便是其他三边和的最小值.
点评本题考查二次函数的应用、二次函数的图象与性质、二次函数与坐标轴的交点、求线段和的最小值等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,属于中考填空题中的压轴题.
11.点评本题考查的是二次函数综合运用,涉及到矩形基本性质、反比例函数基本性质与应用,其中用勾股定理求OG的长度,是本题解题的关键.
12. 分析由图可知,对称轴x=1,与x轴的一个交点为(3,0),则有b=﹣2a,与x轴另一个交点(﹣1,0);①由a>0,得b<0;②当x=﹣1时,y=0,则有a﹣b+c=0;③一元二次方程ax2+bx+c+1=0可以看作函数y=ax2+bx+c与y=﹣1的交点,由图象可知函数y=ax2+bx+c与y=﹣1有两个不同的交点,一元二次方程ax2+bx+c+1=0(a≠0)有两个不相等的实数根;④由图象可知,y>0时,x<﹣1或x>3.
点评本题考查二次函数的图象及性质;熟练掌握二次函数的图象及性质,能够从图象中获取信息进行准确的分析是解题的关键.
三、解答题
13.解析(1)根据题意可以列出相应的二元一次方程组,从而可以解答本题;(2)根据题意可以得到m关于乙种房价的函数关系式,然后根据二次函数的性质即可解答本题.本题考查二次函数的应用、二元一次方程组的应用,解答本题的关键是明确题意,利用二次函数的性质解答.
14. 在170≤x≤240范围内,w随x的增大而减小.故当x=170时,w有最大值,最大值为12750元。
15. 分析(1)①若所截矩形材料的一条边是BC,过点C作CF⊥AE于F,得出S1=AB·BC=6×5=30;②若所截矩形材料的一条边是AE,过点E作EF∥AB交CD于F,FG⊥AB于G,过点C作CH⊥FG于H,则四边形AEFG为矩形,四边形BCHG为矩形,证出△CHF为等腰三角形,得出AE=FG=6,HG=BC=5,BG=CH=FH,求出BG=CH=FH=FG﹣HG=1,AG=AB﹣BG=5,得出S2=AE·AG=6×5=30;
(2)在CD上取点F,过点F作FM⊥AB于M,FN⊥AE于N,过点C作CG⊥FM于G,则四边形ANFM为矩形,四边形BCGM为矩形,证出△CGF为等腰三角形,得出MG=BC=5,BM=CG,FG=DG,设AM=x,则BM=6﹣x,FM=GM+FG=GM+CG=BC+BM=11﹣x,得出S=AM×FM=x(11﹣x)=﹣x2+11x,由二次函数的性质即可得出结果.
点评本题考查了矩形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、矩形面积公式以及二次函数的应用等知识;熟练掌握矩形的性质,证明三角形是等腰直角三角形是解题的关键.
16. 分析(1)①把a、b、c的值代入二次函数解析式并配方得顶点式,即求得顶点坐标.②根据定义,把y=x代入二次函数y=x2﹣2x﹣1,得x2﹣2x﹣1=x,根据根的判别式可知满足此方程的x有两个不相等的值,即原二次函数有两个不同的“不动点”.
点评本题考查了求二次函数顶点式,一元二次方程的解法及根与系数的关系,相似三角形的判定和性质,因式分解.第(2)题条件较多且杂时,抓住比较特殊且有联系的条件入手,再通过方程思想不断寻找等量关系列方程,逐个字母消去,求得最终结果.
18. 分析(1)由于条件给出抛物线与x轴的交点A(﹣1,0)、B(3,0),故可设交点式y=a(x+1)(x﹣3),把点C代入即求得a的值,减小计算量.
(2)由于点A、B关于对称轴:直线x=1对称,故有PA=PB,则C△PAC=AC+PC+PA=AC+PC+PB,所以当C、P、B在同一直线上时,C△PAC=AC+CB最小.利用点A、B、C的坐标求AC、CB的长,求直线BC解析式,把x=1代入即求得点P纵坐标.
(3)由S△PAM=S△PAC可得,当两三角形以PA为底时,高相等,即点C和点M到直线PA距离相等.又因为M在x轴上方,故有CM∥PA.由点A、P坐标求直线AP解析式,即得到直线CM解析式.把直线CM解析式与抛物线解析式联立方程组即求得点M坐标.
点评本题考查了待定系数法求二次函数解析式、一次函数解析式,轴对称的最短路径问题,勾股定理,平行线间距离处处相等,一元二次方程的解法.其中第(3)题条件给出点M在x轴上方,无需分类讨论,解法较常规而简单.
19. 分析:求出点A、B的坐标分别为(4,0)、(0,4),即可求解;点评本题考查的是二次函数综合运用题,涉及到一次函数、面积的计算等知识点,其中(2),S△BEF=S△OAB﹣S△OBE﹣S△AEF,是本题解题的关键.
(2)根据面积的和差,可得二次函数,根据二次函数的性质,可得最大值,根据自变量与函数值的对应关系,可得答案.点评本题考查了用待定系数法求函数解析式的方法,利用面积的和得出二次函数是解题关键,又利用了二次函数的性质.
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