多种思路构造：已知3倍角及角平分线，如何求解线段的长度？

解法一：

解：过点A作AF⊥BD交BC于点E,过点C作CG⊥BD交BD延长线于点G

∵△ABF≌△EBF

∴AB=BE=6√(2)

∵2β+3α+α=180°

∴β+2α=90°

∴∠BAF=∠BEF=2α

∴∠EAC=∠ECA=α

∴EC=EA=4√(2)

∴AF=EF=2√(2)

∵EF∥CG

∴(CG/BC)=(EF/BE)=(1/3)

∴CG=(10√(2)/3)

∴BG=(40/3),BF=8

∴FG=(16/3)

∵(AF/CG)=(DF/DG)=(3/5)

∴DG=(10/3)

∴CD=(10√(3)/3)

解法二：

解：过点A作AF⊥BD交BC于点E,

过点C作CG⊥AE交AE延长线于点G

∵△ABF≌△EBF

∴AB=BE=6√(2)

∵2β+3α+α=180°

∴β+2α=90°

∴∠BAF=∠BEF=2α

∴∠EAC=∠ECA=α

∴EC=EA=4√(2)

∴AF=EF=2√(2)

∵BF∥CG，sinβ=(1/3)

∴EG=(4√(2)/3)

∴CG=(16/3)，AG=(16√(2)/3)

∴AC=(16√(3)/3)

∵(AD/CD)=(AF/FG)=(3/5)

∴CD=(10√(3)/3)

解法三：

解：过点A作AF⊥BD交BC于点E，

过点E作EG∥BD交AC于点G

∵(AB/BC)=(3/5),BD平分∠ABC

∴(AD/CD)=(3/5)

∵△ABF≌△EBF

∴AB=BE=6√(2)

∵2β+3α+α=180°

∴β+2α=90°

∴∠BAF=∠BEF=2α

∴∠EAC=∠ECA=α

∴EC=EA=4√(2)

∴AF=EF=2√(2)

∴BF=8

设AD=3x，则CD=5x

∴DG=3x,CG=2x

∵(EG/BD)=(CG/CD)=(2/5)

∴设FG=2y,则BD=5y

∴BF=4y,DF=y

∴y=2

∴AD=2√(3)

∴CD=(10√(3)/3)

解法四：

解：过点A作AF⊥BD交BC于点E，

在BD上截取FG=DF,连接AG

∵△ABF≌△EBF

∴AB=BE=6√(2)

∵2β+3α+α=180°

∴β+2α=90°

∴∠BAF=∠BEF=2α

∴∠EAC=∠ECA=α

∴EC=EA=4√(2)

∴AF=EF=2√(2)

∴BF=8

∵GF=DF,AF⊥DG

∴AG=AD

∴∠BAG=∠GAF=α

∵△ABG∽△CBD

∴(BD/BG)=(CD/AG)=(BC/AB)=(5/3)

∴BF=4DF

∴DF=2

∴AD=2√(3)

∴CD=(10√(3)/3)

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