延长与截取｜线段倍分类几何证明的通用手法

线段倍分类几何图形的证明，由于要考虑辅助线的添加，对学生的图形有想象力有所要求。平时在训练做题中，要增加对图形美感的培养，掌握通用方法。在具体的图形中，考虑延长相关短些的线段，或是在大点线段截取。通过多练，掌握普遍做法。在图形的操作中，进一步增加图形的熟悉感。

如图，在三角形ABC与BCD中，角A与D是90度，边BD=CD，CM=2AB，求角ACB的度数？

由所给条件，知三角形BCD是等腰三角形，相关的性质要熟练把握，锐角是45度，斜边是直角边的根号2倍。关键是条件CM=2AB的使用，考虑两个方向维度，一个是截取，在线段CM上截取CF=AB，过F点作CM的垂线交CD于 E点，这样就构造出一个直角三角形CEF，从而可以证明得出两个直角三角形ABM与FCE的全等。

由全等得到线段BM=CE，这样在等腰直角三角形BCD中，由中位线定理，就得到线段ME平行于BC。再由条件MC=2AB，结合截取的条件CF=AB，很快就能得到三角形MEC是等腰三角形，从而很快就知道角ACB是角BCD的一半，即45度的一半。

从延长的维度来考虑，自然想到把线段BA与CD延长相交于点G，看似条件CM=2AB还没有利用上，但随着证明两个直角三角形CMD与BGD的全等，自然是能看到曙光了。“犹抱琵琶半遮面”，一个思维转身，“他却在灯火阑珊处”，得到线段CM=BG。再结合直角，就能得到三角形BCG是等腰三角形，从而于“三线合一”的性质，得到线段AC也是角平分线，所以就有了角ACB的度数是45度的一半。

几何线段倍分类证明，延长与截取，是常见的处理手法，在平时的练习中，不断增加认知，不断增强对图形美感的操作。多维度锻炼思维，在一题多做中能更加有效提升思维视野。