中点公式秒压轴题？（2020年江苏无锡第28题）

在学习平面直角坐标系时，我们是这样描述中点公式的，两端点横，纵坐标和的一半即为中点横，纵坐标。学生也好记忆，通常他们也会用“两头一加除以2”来记，也行。后来学习平行四边形时，偶尔会在坐标系中遇到它，利用中点公式，知道三个顶点，可求第四个，比起求解析式再求交点的方法，无疑要快捷许多。

题目

在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线OA交二次函数y=1/4x²的图象于点A，∠AOB=90°，点B在该二次函数的图象上，设过点(0,m)(其中m>0)且平行于x轴的直线交直线OA于点M，交直线OB于点N，以线段OM，ON为邻边作矩形OMPN.

(1)若点A的横坐标为8

①用含m的代数式表示M的坐标；

②点P能否落在该二次函数的图象上？若能，求出m的值；若不能，请说明理由；

(2)当m=2时，若点P恰好落在该二次函数的图象上，请直接写出此时满足条件的所有直线OA的函数表达式.

解析：

(1)点A坐标为(8,16)，求出OA解析式为y=2x，由OA⊥OB，求出OB解析式为y=-x/2，将y=m分别代入OA，OB解析式中，得到点M(m/2,m)，N(-2m,m)；

设MN中点为G，则G(-3m/4,m)，而它恰好也是OP的中点，于是得到P(-3m/2,2m)，代入抛物线y=1/4x²，解出m=32/9；

(2)当m=2时，不妨设A(t,t²/4)，和前面方法类似，先得到OA解析式为y=tx/4，OB解析式为y=-4x/t，表示出M(8/t,2)，N(-t/2,2)；

仍然设MN中点为G，则G(4/t-t/4,2)，它同样是OP中点，于是得到P(8/t-t/2，4)，代入y=1/4x²，推导如下：

对应的图象如下：

解题反思

这道题之所以能够用中点公式给“秒”了，其实是源于对矩形对角线互相平分的几何性质，交点即同时为两条对角线的中点，而恰好其中还有一个顶点是原点，只需要表示出另两个，则最后一个顶点P的坐标可得。

在学习一次函数时，我们就知道，两个一次函数图象互相垂直，则它们的一次项系数互为负倒数，这也是能迅速解出本题的技巧之一，毕竟矩形两条边恰巧也是正比例函数，更好求一些。

关于第2问最后是否需要分类讨论点A位置，我的个人意见是不需要，因为在设置点A坐标时，使用的是字母，而字母本身就能代表任何数，而且在坐标计算的过程中，对于字母本身的符号并不敏感，只有在计算线段长度的时候，才会有意识地区分一下符号，毕竟长度只能用正数表示，而使用中点公式，而完全没有顾忌，而图，似乎也没有必要画出来了。

原题的配图其实没什么用处，标准作图的话，点的位置远超过图象本身的范围，勉强画出来，不准确也不利于观察，倒不如直接用解析法，一了百了。

当然，也不是说解析法就不需要函数图象，而是，这个图象在脑子里，想像出来的函数图象，比起纸上的甚至电脑屏幕上的，更好使。