旋转是图形的全等变换之一，是解较难几何题的常用方法。一般地，当图形中我们所关注的某个三角形的某条边出现与其他边具有公共的端点且相等（简称'共点又等长'）的条件时，可考虑旋转变换，将该三角形绕着'共点'旋转适当的角度，使得'等长'的边重合，如此一来往往能使问题迎刃而解。请看以下例子：
例1 如图1，已知P是等边△ABC内一点，∠APB=140°，∠APC=130°，求以PA、PB、PC为三边的三角形各个内角的度数.
分析：欲求以PA、PB、PC为三边的三角形的各个内角的度数，首先考虑构造以PA、PB、PC为三边的三角形。因为△ABC是等边三角形，所以BA=BC，且∠ABC=60°。由此可得△BAP的边BA与BC'共点又等长'，故可考虑将△PAB旋转。
解：因为△ABC是等边三角形，所以BA=BC，∠ABC=60°。
将△BAP绕点B逆时针旋转60°，得△BCQ，
则PA=QC，PB=QB，∠PBQ=60°。
连接PQ，则△BPQ是等边三角形，从而QB=PQ,
所以，以PA、PB、PC为边的三角形是△PQC.
在△PQC中,
∠PQC=∠BQC-60°
=140°-60°=80°,
∠QPC=∠BPQ-60°
=(360°-140°-130°)-60°=30°，
所以∠PCQ=180°-80°-30°=70°.
所以PA、PB、PC为三边的三角形各个内角的度数分别是80°、30°和70°。
例2 如图2，P是等边三角形ABC内的一点，连结PA，PB，PC，若PA：PB：PC=3：4：5，求∠APB的度数.
分析：欲求∠APB的度数，考虑到PA：PB：PC=3：4：5，联想到勾股定理的逆定理，以PA、PB、PC为边的三角形是直角三角形，因此，设法将PA、PB、PC变换到同个三角形中。由已知条件可知△BAP的边BA与BC相等，故考虑将△BAP绕点B旋转。
解：因为△ABC是等边三角形，所以BA=BC，∠ABC=60°。
将△BAP绕点B顺时针旋转60°，得△BCQ，
则QB=PB，QC=PA，∠PBQ=60°，∠APB=∠CQB，∠PBQ=60°。
连接PQ，则△BPQ是等边三角形，所以PQ=PB，∠PQB=60°。
因为PA：PB：PC=3：4：5，
QC：PQ：PC=3：4：5，
所以△PQC是直角三角形，且∠PQC=90°，
所以∠APB=∠CQB
=∠PQB+∠PQC=60°+90°=150°。
例3 如图3，E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上的点，∠EAF=45°。求证：EF=BE+DF．
分析：考虑到△ADF的边与AB'共点又等长'，因此将△ADF旋转。
证明：因为四边形ABCD是正方形，所以AD=AB，∠DAB=90°，
将△ADF绕点A顺时针旋转90°到△ABG，
则BG=DF，∠ABG=90°，AG=AF，∠BAG=∠DAF，
所以∠GBE=180°，
所以G、B、E三点共线，
所以BE+DF=BE+BG=EG.
因为∠EAF=45°，所以∠GAE=45°，
又因为AE=AE，
所以△AEG≌△AEF，
所以EG=EF，
因为EG=BE+BG=BE+DF，
所以EF=BE+DF．
例4 如图4，在四边形ABCD中，AD=4，CD=3，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°，则BD的长为______．
分析：由已知易知△ABD的边AB=AC，将△ABD旋转。
解：因为∠ABC=∠ACB=45°，
所以∠BAC=90°，AC=AB，
将△ABD绕点A顺时针旋转90°，得△ACE，
则BD=CE，AD=AE，∠DAE=90°，
所以∠ADE=45°，
又∠ADC=45°，所以∠CDE=90°；
因为AD=4，所以DE=4√2，
因为CD=3，
所以CE=√[(3)2+(4√2)2]= √41，
所以BD=√41．
例5 已知点P是正方形ABCD内一点，连结PA、PB、PC.
（1）若PA=2，PB=4，∠APB=135°，求PC的长；
（2）若PA2+PC2=2PB2，求证：点P在对角线AC上.
分析：将△BAP进行旋转。
解：（1）由正方形ABCD，得
BA=BC，∠ABC=90°，将△BAP绕点B顺时针旋转90°，得△BCE，连结PP/（图5-（1）），
则△BPP/是等腰直角三角形，
所以∠BEP=45°，
PE=√2BP=4√2，
又∠BEC=∠ACE=90°，∠APB=135°，
所以∠PEC=90°，
所以PC=√(PE2+EC2)=6；
（2）证明：将△BAP绕点B顺时针旋转90°到△CBE，则∠APB=∠CEB。
连结PE（如图5-（2））。在等腰直角三角形PEB中，PE2=2PB2，
因为PA2+PC2=2PB2，EC=PA，
所以PE2=PA2+EC2，
由勾股定理逆定理，得∠PCE=90°，
所以∠CEB+∠BPC=360°-2×90°=180°，
所以∠APB+∠BPC=180°，
所以A、P、C三点共线，即点P在AC上.
例6 如图6，四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=∠BCD=90°，BC=5，DC=1，求AC的长。
分析：△ACD的边AD=AB，将△ACD旋转。
解：因为AB=AD，∠BAD=90°，
所以将△ADC绕点A顺时针旋转90°，得△ABE，
所以BE=DC=1，∠ABE=∠D，AE=AC，∠CAE =90°，
因为∠BAD=∠BCD=90°，
所以∠ABC+∠D=180°，
所以∠ABC+∠ABE=180°，
所以E、B、C三点共线，
所以CE=BC+BE=6，
所以AC=CE/√2=6/√2=3√2。
例7 如图7，点P为正方形ABCD内一点，且∠APD=90°，点P到点A及正方形的中心O的距离分别为PA=4，PO=6，求PD的长．
分析：易知△OAP的边OA等于OB，将△OAP旋转。
解：因为O为正方形ABCD的中心，
所以OA=OB，∠AOB=90°，
把△OAP绕点O逆时针旋转90°，得△BEO，连接PE，
则△OPP/为等腰直角三角形，
所以∠OPE=∠OEP=45°．
因为PO=6,所以PE=6√2．
连接AE。
在△ABE与△DAP中，
因为AB=AD，∠ABE=45°+∠OBE=45°+∠OAP=∠DAP，
BE=AP，
所以△ABE≌△DAP，
所以PD=EA，∠BEA=∠APD=90°，
所以∠APO=∠BEO=135°，
所以∠APE=∠APO+∠OPE=180°，
所以A、P、E三点共线，
所以AE=AP+PE=4+6√2．
所以PD=4+6√2．
例8如图8，P、Q是等腰Rt△ABC斜边AB上两点，且∠PCQ=45°。求证：AP2+BQ2=PQ2.
分析：欲证AP2+BQ2=PQ2，设法构造以AP、PQ、BQ为边的三角形，再证明该三角形是直角三角形。考虑到△CAP中的边CA=CB，故将△CAP绕点C旋转。
证明：因为CA=CB，∠ACB=90°，
所以把△CAP绕点C顺时针旋转90°，可得△CBD，连结DQ。
则AD=CP，∠BCD=∠ACP，AP=BD，∠CBD=∠A=45°，
所以∠DBQ=90°，所以BD2+BQ2=DQ2，
所以AD+BQ2=DQ2；
因为∠PCQ=45°，所以∠ACP+∠BCD=45°，
所以∠DCQ=45°=∠PCQ，
所以△DCQ≌△PCQ，所以DQ=PQ，
所以AP2+BQ2=PQ2.
例9 如图9，△ABC是等边三角形，D是△ABC外一个动点，且AD=2，CD=6，当∠ADC的度数为多少时，BD的值最大？最大值是多少？
分析：△BAD的边BA=BC，将△BAD旋转。
解：在等边△ABC中，BA=BC，∠ABC=60°，
将△BAD绕点B顺时针旋转60°，得△BCE，
所以BE=BD，CE=AD=2，∠BCE=∠BAD，∠DBE=60°。
连接DE，则△BDE是等边三角形，
所以BD=DE。
在△CDE中，因为DE≤CD+CE，
当E、C、D三点共线时，DE最大值=CD+CE=8，
所以BD最大值为8。
当BD=8时，E、C、D三点共线，所以∠BCE+∠BCD=180°，
所以∠BAD+∠BCD=180°，
所以∠ABC+∠ADC=180°，
所以∠ADC=120°。
所以当∠ADC=120°时，BD的值最大，最大值是8。
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