导数概念讲义

三、导数

（一）导数概念

1 ．导数的定义

设函数 f （ x ）在 x ₀的某邻域内有定义，若极限

存在，则称函数 f

（ x ）在 x_o处可导，并称此极限为 f （ x ）在 x ₀处的导数，记成

若 f （ x ）在区间工内处处可导，则对每一 x ∈ I ，都对应一个导数值，这就构成了一个新函数，这个函数叫做函数 f （ x ）的导函数（也简称作导数），记作y^,，或

,或f^,（x）。

2 ．导数的几何意义

f （ x ）在 x₀ 处的导数 f ' （ x ₀），在几何上表示曲线 y = f （ x ）在点（ x ₀， f （ x ₀））处的切线的斜率。由此可知曲线 y =f （ x ）在点（ x ₀， f （ x₀））处的切线方程为

其中 y ₀＝ f （ x ₀）。若 f ' （ x ₀）≠0 ，则曲线 y = f （ x ）在点（ x ₀， f （x₀））处的法线方程为

（二）基本求导公式和求导法则

1 ．基本求导公式

2 ．函数的和、差、积、商的求导法则

设 u = u（ x ）、v = v（ x ）均可导，则

（1）（u±v）^’=u’±v^’

（2）（Cu）^’=Cu^’（C是常数）

（3）（uv）^’=u^’ v+u v^’

（4）

3 ．反函数的求导法则

若 x =φ（y）在区间I_y内单调、可导且φ^’（y）≠0 ，则它的反函数 y ＝f（ x ）在对应的区间I_x内也可导，且

即

4 ．复合函数的求导法则

设 y = f （ u ）、 u =φ（ x ）均可导，则复合函数 y = f [φ（ x ） ] 也可导，且

5 ．隐函数的求导法则

设方程 F （ x ，y）＝ 0 确定一个隐函数 y = y （ x ），F_x、 F_y，连续且F_y≠0，则隐函数 y = y （ x ）可导,且

6 ．由参数方程所确定的函数的求导法则

若函数y = y （ x ）由参数方程

所确定，且x, =φ（ t ）、 y =ψ（ t 〕都可导，φ^’（ t ）≠ 0，则