微积分中的哲学思想

数学历来都是哲学研究的对象，哲学作为世界观，为数学发展起着指导和推动作用。微积分是研究函数的微分、积分以及相关概念和应用的一个数学分支，微积分的创立是数学史上的一次重大飞跃，其中蕴含着丰富深刻的哲学思想。是继欧氏几何之后，数学学科中的一个最大的创造。微积分的建立，使得常量数学在内容上得到了极大的丰富，在思想方法上也发生了深刻的变化，许多哲学思想都得到了诠释。

一、对立统一规律

对立统一的规律是唯物辩证法的基本规律，揭示事物的本质，人类社会和人的思想是相互联系的，相互排斥的两个方面，相互矛盾，相互接触，这两者是相互矛盾的。双方的团结和斗争正在推动事态的变化和发展。在微积分中，极限是最基本和最重要的概念之一。它充分体现了对立面的统一，通过有限的理解反映了人们的无限的辩证规律。具体来说，函数f（x）趋近于常数A的过程是一个无限接近的过程，但对于过程的每一步，这种方法都是有限的；f（x）a趋于零，趋于零的过程是一个无穷小的过程，但在过程的每一个阶段，它的较小程度都是有限的。有限和无限是这样的矛盾和统一，只有通过有限的认识无限，从有限到无限。极限过程统一了有限与无限之间的矛盾。在计算曲边梯形面积时，首先将未知曲线梯形划分为多个小梯形，当分割很细时，可将其弯曲成直边，可以将这些小的直边梯形面积和梯形面积作为大曲的近似值。也就是说，“以直线取代曲线”。其次，对分割结果进行无限细化，取其和为极限。从而将小直边梯形的面积之和转换成大曲边梯形的面积。这就是“以曲代直” 。

因此，“曲”与“直”之间的矛盾用极限法和谐统一。正如恩格斯所说，“直线和曲线最终等同于微积分。”矛盾是普遍存在的，矛盾的双方彼此相互依赖并存，并存在着由此及彼的桥梁。微分与积分问题是微积分中的两个对立统一的概念，是解决实际问题中的“变与不变”、“有限与无限”、“近似与精确”的有力数学工具，微分解决“局部”问题，而“定积分”解决的是“全局”问题，微分和积分是统一变量（增量与原函数）的不同反映（局部与全局），是对立统一下的互逆关系。这不仅是思维的巧妙，更是哲理的艺术。微积分充满矛盾。常量与变量，有限和无限，连续和不连续，直线和曲线是两个矛盾。它们相互对立，但在一定条件下相互依存，相互转化。   

二、质量互变规律

辩证唯物主义认为，一切物质都是质量和数量的统一。物质交换规律表明，事物的发展有两种基本形式，即量变和质变。前者代表物的增减，数量上的特点。是一种连续的、在度的范围内发生没有重大的变化，后者是事物性质的变化。进步进程的中断，从一个种质到另一个种质的转变。是对原有度的突破。

微积分中常用的一种方法是求极限，极限实际上是无穷接近的过程，它是一个“度”。当没有达到这个程度时，它只是数量的积累（量变） 过程，一旦超出这个程度，就会发生近似精确的质变。如在梯形面积计算中，通过分段、近似代换和求和得到梯形面积的近似值。这个过程是量变的过程，在这个过程中没有质的变化。然而，如果分割是无限加密的，且每个梯形边缘的宽度趋于零，则将得到梯形的精确面积。这时，必然会发生从量变到质变，这是定积分理论的基本思想。    

三、否定之否定规律

否定规律揭示了事物发展的整个过程和总体趋势，是唯物辩证法的基本规律的综合体现。事物的发展是通过自身的辩证否定来实现的。微积分理论本身的产生和发展过程反映了否定的否定规律。从牛顿和莱布尼茨的独立微积分的概念以来，数学的发展达到了一个新的高度，产生了许多新的思想和方法。然而，由于微积分理论在当时还不完善，一些数学家和学者指出微积分缺乏必要的逻辑基础。质疑微积分，甚至否定它，造成数学世界的混乱，这也就是所谓的第二次数学危机。

直到19世纪20年代，在微积分的数学家阿贝尔、柯西和后来的康托等微积分理论证明了这一点。才化解危机，并建立了微积分的重要地位。第二次数学危机实际上是第一个否定演算理论，和数学家阿贝尔为微积分理论严格证明又是否定之否定，从而克服了积极和消极两个阶段的片面性，并积极和消极的统一，微积分理论推进到了一个新的发展和更高的阶段。此外，微积分中的许多概念也包含否定之否定法则。如学习定积分的概念，梯形面积不是直接计算曲边，而是将其否定，来计算许多小矩形面积和。但这并不是最终的化整为零，于是再一次否定，将分割无限细化并对小矩形面积的和求极限。也就是”积零为整”，从而得到曲边梯形的面积。

微积分的许多内容都与哲学存在着密切的联系，研究微积分中的哲学和辩证法规律对理解微积分的方法和实质都会有指导性的作用。同时，从哲学的角度来看待微积分，不仅是学习微积分的需要，也是教授和研究发展微积分的需要。在微积分的学习过程中，不仅要掌握这些数学分析的方法，我们必须理解这些数学方法背后的哲学。只有这样，我们才能更好地掌握微积分的本质，既能掌握知识，又能培养创造性思维能力。