作者简介：袁岚峰，中国科学技术大学化学博士，中国科学技术大学合肥微尺度物质科学国家研究中心副研究员，科技与战略风云学会会长，青年科学家社会责任联盟理事。
理解黎曼猜想（4）：得救之道，就在其中
（收藏本文有删减）
理解黎曼猜想（1）～（3）介绍的是黎曼猜想的背景（质数分布）、研究质数分布的基本工具（欧拉乘积公式）以及黎曼通过解析延拓，把欧拉ζ函数升级成黎曼ζ函数。所谓“全体自然数的和等于-1/12”不是字面上的意思，而是黎曼ζ函数在自变量为-1时的取值。
1859年，黎曼向柏林科学院提交了一篇论文《论小于给定数值的质数个数》（Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Gr?sse，英译On the Number of Primes Less Than a Given Magnitude）。虽然只有短短8页纸，内容却非常丰富，语言极其精炼，它直今仍在不断给数学家们提供启发和挑战，堪称整个数学史上最深邃和最难啃的论文之一。论文的要点包括：
一.把ζ(s)中的自变量s理解为复数（complex number），而不只是实数；
二.通过解析延拓（analytic continuation），让ζ(s)在s < 1的地方也获得定义；
三. 通过对ζ(s)的研究，可以对小于等于某个数x的质数的个数给出一个明确的表达式，在这个表达式中唯一未知的是ζ(s)的零点的位置；
四. 黎曼认为ζ(s)的零点都位于某些地方。这就是黎曼猜想。
我们知道，欧拉ζ函数是一个对所有自然数求和的级数：
这个级数只在s > 1时收敛，而当s ≤ 1时是发散的，没有意义。但是黎曼提出了一种通过ζ(s)来定义ζ(1 - s)的方法，硬是把这个函数扩展到了s ≤ 1的区域。
在s > 1情况下，黎曼经过巧妙变换，证明了下面的等式：
这里Γ是欧拉Gamma函数，是阶乘的扩展。如果你看不懂细节，这并不重要。真正重要的，是看右边这个关于s的表达式：把s换成1 - s，答案不变。
为什么？因为这时前面分式中的分母s(s - 1)变成了(1 - s) (-s)之后，其值不变，而后面的积分当中的两个指数，-(s + 1)变成了-(2 - s) = s - 2，而s - 2变成了-(s + 1)，——刚好是互换了一下，所以其值也不变。结论是：右边的表达式在s换成1 - s时保持不变。因此黎曼指出，左边的表达式在把s换成1 - s时，也保持不变。也就是说：
这个等式叫做黎曼的函数方程。根据这个等式，如果你知道了ζ(s)，你就可以算出ζ(1 - s)。就这样，黎曼对ζ函数做出了解析延拓，从它已知的在s > 1时的值，就可以定义它在s < 1时的值。
如果你照着他的证明一路推下去，你就会看到他的结论是正确的。然而，黎曼是怎么想到这个做法？这就完全是“一剑西来，天外飞仙”，即使在专业数学家看来，黎曼的思路非常神奇，远远不是显而易见。我们应该感谢，有如此伟大的头脑引领人类前进！
从s变换到1 - s，只能把大于1的变换到小于0，而0和1之间的变换，早在黎曼之前就已经对这个区域做出了解析延拓。
在理解黎曼猜想（1）中，我们把n的-s次方记作f(n)，把所有的f(n)的和即f(1) + f(2) + f(3) + f(4) +…记作A。把f(2)乘到A上，会得到所有的偶数项。当时是从A中减去f(2)A，消去了所有的偶数项，只剩下奇数项。现在从A中减去二倍的f(2)A，就得到：
这个表达式的右边不再全是正号，而是正负号交替出现。这个级数叫做狄利克雷级数（Dirichlet series）。由于正负号交替出现，狄利克雷级数的收敛范围扩大了，从s > 1扩大到了s > 0。因此，在0和1之间，ζ(s)就可以用狄利克雷级数除以1 - 2f(2)来定义。
在黎曼的解析延拓之后，ζ(s)仅有s = 1没有定义，它的图像如下：
但是，黎曼ζ函数的定义域不只是实数，而是复数。复数形如x + yi，其中x叫做实部，常用Re来表示，y叫做虚部，常用Im来表示。实数可以用一根数轴来表示，而复数需要用一个复平面来表示。平面上坐标为(x, y)的点对应x + yi。复数可以理解是一个矢量，这个矢量的起点是原点，终点是(x, y)。
把ζ函数的自变量s扩展为复数后，很容易证明，原来的级数在s的实部（即Re(s)）大于1时是收敛的，而在Re(s)小于1时是发散的。经过黎曼的解析延拓后，ζ函数最终变成了这样：
指数为复数的乘方按照欧拉公式计算：
指数如果是纯虚数，乘方的结果就是给原来的复数矢量做了一个旋转；指数如果是实数，乘方的结果就是改变了原来的复数矢量的长度，而方向不变。指数的实部和虚部如果都不等于0，乘方的结果就是既改变大小，也改变方向。
黎曼把ζ函数的自变量s从实数扩展到了复数，也就是ζ从实变函数变成了复变函数，其好处在于，在某种意义上，复变函数比实变函数简单。为什么？因为在数轴上接近一个点，只有左和右两个方向，而在复平面上接近一个点有无穷多个方向。如果对无穷多个方向做计算都能得到同一个结果，这是一个非常强的限制条件，满足这种限制条件的复变函数比实变函数容易处理得多。例如，复变函数的解析延拓就比实变函数的解析延拓容易得多。因此数学界笑谈：实变函数处理的是非常恶劣的函数，复变函数处理的是非常良好的函数。
复变函数的许多性质是由它的零点（zero）决定的。所谓零点，就是使得这个函数取值为0的点，例如正负i（0+i）就是复变函数f(z) = z2 + 1的两个零点。
如果复平面上有一条曲线围着一个零点，当你求函数在这条曲线上的积分时，那么你会发现积分结果完全由零点的性质所决定，而跟曲线的具体情况没有关系。所以你可以把这条曲线扩大或缩小、拉长或压扁一点，其结果完全没有影响，你只需要知道函数在零点附近的行为就够了。黎曼就是这样套出了下面的等式：
左边的J(x)是一个阶梯函数，它在x = 0的地方取值为0，然后每经过一个质数（例如2、3、5）就增加1，每经过一个质数的平方（例如4、9、25）就增加1/2，每经过一个质数的三次方（例如8、27、125）就增加1/3，如此等等，每经过一个质数的n次方就增加1/n。这样可以理解为一个质数的n次方被算作了1/n个质数。显然J(x)跟质数的分布密切相关。
等式右边的第一项Li(x)叫做对数积分函数（logarithmic integral function），它的定义是：
对数积分函数的图像是这个样子：
在x很大的时候，Li(x)≈x/lnx。
右边的第二项的函数形式仍然是对数积分函数，但自变量却变得非常有意思，是所有的x的ρ次方。这些ρ就是黎曼ζ函数的非平凡零点（non-trivial zeroes）。
我们知道零点是使函数取值为0的那些点。为什么又加个“非平凡”呢？因为黎曼证明了，s等于-2、-4、-6、-8等负的偶数值的时候，ζ(s)必然等于0。在数学家们看来，这是一目了然的，于是他们把ζ函数的这些零点叫做平凡零点（trivial zeroes）。但是，除了负的偶数之外，黎曼ζ函数还有其他的零点。这些零点的位置就远远不是一目了然的了，即使对黎曼都不是，因此被称为非平凡零点。前面提到的ρ就是这些非平凡零点。可以确认的是，非平凡零点肯定不在实轴上，因为在实轴上除了负的偶数，再没有其它的零点了。
既然非平凡零点ρ不是实数，x的ρ次方也不是实数，那么对这样一个虚数自变量的对数积分函数是怎么计算的？回答是：数学家又做了一个解析延拓，把对数积分函数的定义域扩展到了复数。
总而言之，黎曼对一个与质数分布密切相关的函数J(x)给出了一个表达式，其中唯一不清楚的部分来自黎曼ζ函数的非平凡零点。
有一个函数叫做质数计数函数（prime-counting function），写成π(x)，意思是小于等于给定数值x的质数个数。例如π(3) = 2，π(5) = 3，π(7) = 4，π(x) = 5，等等。对于前60个自然数，质数计数函数的图像如下：
显然，如果质数计数函数是一个简便的计算公式，那么对第n个质数也就有了快速的算法。黎曼得到的并不是π(x)，而是J(x)，但这两个函数包含的信息是等价的，由其中的一个可以推出另一个。所以质数分布的全部信息都包含在黎曼ζ函数非平凡零点的位置当中，恰如《肖申克的救赎》中的台词，“得救之道，就在其中。”
π(x)和J(x)之间的关系是：
这里的μ(n)叫做莫比乌斯函数（M?bius function），就是莫比乌斯带的那个莫比乌斯（August Ferdinand M?bius，1790 - 1868），他也是一位伟大的德国数学家。
莫比乌斯函数的取值只有三种可能：0和正、负1。如果n可以被任何一个质数的平方整除（它的质因数分解中有一个质因数出现二次或更高次方），那么μ(n) = 0。如果n不能被任何一个质数的平方整除（n的任何一个质因数都只出现一次），这时就数质因数的个数：若质因数有偶数个，则μ(n)= 1（注意这里包括了n = 1的情况，因为它没有质因数，而0算作偶数，所以μ(1) = 1）；而假如质因数有奇数个，那么μ(n) = -1。
由此可见，μ(1) = 1，μ(2) = -1，μ(3)= -1，μ(4) = 0，μ(5) = -1，μ(6) = 1等等。这正是上面的展开式中用到的前几项。
J(x)是一个增函数：在上面的展开式中，随着n的增加，x的1/n次方变得越来越小，相应的第n项也变得越来越小。因此对π(x)贡献最大就是第一项J(x)。那么对J(x)贡献最大的又来自哪一项呢？这就涉及黎曼ζ函数非平凡零点的位置了。
一个非平凡零点ρ的实部和虚部经常被记为σ和t，即ρ = σ + it。黎曼很快就证明了，ρ不可能出现在σ > 1或者σ < 0的地方，即非平凡零点只可能出现在0 ≤ σ ≤ 1的区域里。在复平面上，这对应于一条宽度为1的竖直条带，被它称为临界带（critical strip）。
根据黎曼ζ函数的表达形式，很容易发现零点对于实轴是对称的。也就是说，如果σ + it是一个零点，那么它的共轭复数σ - it也是一个零点。因此，我们说第n个非平凡零点，是指第n个虚部为正数的非平凡零点，而虚部为负数的就不言而喻了。
另一方面，根据黎曼函数方程，即ζ(s)与ζ(1 – s)之间的联系，又很容易发现，由于非平凡零点对于σ = 1/2这条竖线是对称的，如果σ + it是一个零点，那么1 - σ + it也是一个零点。
黎曼计算了几个非平凡零点的位置，发现它们的实部都等于1/2。例如第一、二、三个非平凡零点，实部都等于1/2，而虚部分别约等于14.1347、21.0220和25.0109。然后，他就做出了一个惊天动地的猜想：黎曼ζ函数所有的非平凡零点，实部都等于1/2！这就是黎曼猜想，数学中最大的未解之谜之一。
σ = 1/2称为临界线（critical line），它是临界带的中心线，所有的非平凡零点都在临界带里。但黎曼猜想却大大地加强了这个结论，它说的是：所有的非平凡零点都在临界线上。
这是一个非常令人惊讶的结论。假如非平凡零点的实部是在0到1之间随机取值，那么它刚好取到1/2的概率应该等于0。而现在黎曼却认为这个概率是100%！如果为真，说明它并不随机，那么在这背后肯定有深刻的原因。
可是，目前还没有被普遍接受的证明或证伪，不过数值计算的结果为这个猜想提供了强有力的支持。人们已经计算了十万亿个非平凡零点，都整齐划一地躺在临界线上。
数学王子高斯小时候就研究过质数分布的问题。当他有空的时候，就挑出几个长度为1000的自然数区间，算出这些区间中的质数个数。随着数字的增大，质数一般而言会变得越来越稀疏。你看，这就是高斯的消遣！
高斯
高斯在做了大量的计算和比较之后，发现质数分布的密度大约是对数函数的倒数：在x附近的一个数是质数的概率大约是1/lnx。后来，法国数学家勒让德（Adrien-Marie Legendre，1752 - 1833）也得到了同样的结果。
高斯和勒让德的结果，只是来自数值实验，没有严格证明。他们的统计结果在困惑了人们100多年后的1896年，法国数学家阿达马（Jacques Salomon Hadamard，1865 - 1963）和比利时数学家德·拉·瓦·布桑（Charles Jean de la Vallée Poussin，1866 -1962）终于作出了证明，这个命题被人们称为质数定理（prime number theorem）。
质数定理是研究黎曼猜想的一个中间产物。黎曼一上来就证明了黎曼ζ函数的非平凡零点只能出现在0 ≤ σ ≤ 1的临界带里。对于质数定理而言，讨厌的区间等号，如果能去掉等于号，即把临界带在σ = 0和σ = 1的边界去掉，让非平凡零点只能出现在临界带的内部，那么质数定理立刻就获得证明了。因为这时π(x)的主要贡献来自对数积分函数Li(x)，次要贡献来自黎曼ζ函数的所有非平凡零点。1896年阿达马和德·拉·瓦·布桑终于去掉了这两条边，从而证明了质数定理。
质数定理其实就是小于等于x的质数个数π(x)约等于Li(x)。说得严格一点，就是当x趋于无穷时，π(x)与Li(x)的比值趋于1。前面我们说过，在x很大的时候，Li(x)约等于x/lnx。因此质数定理也可以表述成π(x)约等于x/lnx。
从上面这个图可以看到，随着x增大，π(x)与这两种近似表达式的比例都趋近于1。不过，π(x)除以x/lnx趋近于1的速度很慢，而π(x)除以Li(x)趋近于1的速度就快得多。作为对π(x)的近似，Li(x)比x/lnx要好得多。用密度的语言说，在x附近的一个自然数是质数的概率，大约是1/lnx。与此同时，在小于等于x的自然数中任选一个是质数的概率，也大约是1/lnx。
比如，在10 100次方的范围内，大约有多少个质数呢？现在x=10100，lnx = 100ln10 ≈ 230.26。所以从1到10 100的质数个数大约就是x除以230.26，约等于4.3924乘以1097。
质数定理构成了我们对质数分布的基础描述，而黎曼猜想表征的就是对这个基础描述的修正。
有意思的是，证明了质数定理的这两位数学家，德·拉·瓦·布桑活到96岁，阿达马活到98岁。因此数学界有一个说法：如果有人证明了黎曼猜想，他就会不朽，不仅仅是精神层面的不朽，而且还是物质层面的不朽。你看，两位还没有证明黎曼猜想，仅仅是取得了一点进展就活到了近一百岁，如果是证明了黎曼猜想的，那还得了吗？
链接阅读：
理解黎曼猜想（五）宇宙的密
理解黎曼猜想（六）朝闻道
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