读张（张天蓉）教授《科学之数学美》之笔记
理论物理学家们常说，麦克斯韦方程组，爱因斯坦相对论的洛伦兹变换（时空坐标变换）和引力场方程都体现了数学美。但是，这种对科学中处处可见数学美的欣赏，需要有一定科学文化的积淀和科学兴趣的素养。如果没有一定的数学修养，即使是学理工科的，在看到这些数学公式时也可能会认为是一大堆繁杂讨厌的东西，哪有什么“美感”可言？
数学公式能激发人们的“美感”吗？科学家用实验来研究美感的来源与大脑活动的关系。英国数学家阿提雅（M. Atiyah）在2014年曾经利用核磁共振造影对大脑扫描，证实了数学家对数学的美感，与人们对音乐绘画等艺术产生的美感是来源于脑部的同一个区域：前眼窝前额皮质（mOFC）A1 区。
阿提雅选择提供了60个包含许多领域的数学公式，让16位数学家分别对这些公式从丑到美打分数，并同时进行脑部扫描，测量产生数学美感时大脑中情绪活跃的区域和程度。他们的实验分析结果显示，数学或抽象公式不但激发美感，使人产生精神上的亢奋，而且在大脑中和艺术美感共享相同的情绪区域。
有趣的是，这些数学专业人士，在提供给他们的60个公式中，评选出了一个“最丑的”和一个“最美的”数学表达式。其中最丑、最美的分别是：
最丑的
最美的
最丑表达式看起来十分复杂，令人费解，它是用无穷级数来计算 1/π。当然，这只是从60个式子中选出来的，如果给出更多的选择可能性，一定还有更复杂，更丑的。
最美的公式被称为“欧拉恒等式”，它也仅仅是从60个例子中脱颖而出。欧拉恒等式一直受到科学家们的好评，美国物理学家理查德·费曼（Richard Phillips Feynman）就曾经称这个恒等式为“数学最奇妙的公式”。
欧拉恒等式之所以奇妙，在于它把数学中五个最基本最重要的数学常数e、i 、π、1、0极简极美地整合为一体。其中e是自然对数的底，i是虚数的单位，π是圆周率，剩下的1和0，在数学上的地位就不言自明了。凭什么把这5个常数如此简洁地连系在一起？其中还包括了两个奇怪的超越数：π =3.141592653....，e =2.718281828....。
这个恒等式第一次出现于1748年瑞士数学家莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler）在洛桑出版的书中，是复分析欧拉公式当x = π时的特殊情况：
但是，对于不懂数学的人来说，那是无法欣赏欧拉恒等式和欧拉公式之美的。你只有知道符号e、i 、π所表达的意思，清楚它们在数学、量子力学、工程中的威力和联系，你就会赞叹这简洁公式之慑人之美！
数学美不仅使数学自身美不胜收，也给科学美锦上添花。科学中的数学美有多种形式，主要有：简洁之美、逻辑之美、对称之美、完备之美。
简洁之美
科学用数学来凝练和浓缩，这是简洁之美。但是简约不等于简单，把复杂的事情简单化，是一种本领和智慧。大智若愚，大道至简，用简去繁，以少胜多。中国清代著名书画家郑板桥用“删繁就简三秋树” 表明他的书法及文学理念，主张以最简练清晰的笔墨，不同凡响的思想，表现出最丰富的内容。
在西欧的逻辑理论中，所谓“奥卡姆剃刀”也是这个意思：“如无必要，勿增实体”。 多样性中的简单意味着事物之间的和谐。科学的目的本来就是要寻找对自然现象最简单最美的描述，删除一切没必要的多余“实体”。
按照奥卡姆剃刀原则，当你面对两种理论能得到同样结论时，你应该选择那个最简单、实体最少的。比如，物理学家研究的统一理论，其中基本物理规律、各种粒子和相互作用力就是理论中的实体。统一理论追求的简洁美就是要用最少实体来描述宇宙并解释自然现象。分形和混沌理论将自然界及科学理论中看起来十分复杂的现象，通过“自相似性质”用几个简单的方程来描述，也是一个追求“简洁美”的例子。
麦克斯韦方程组既简洁又具有对称美，它成功地描述了电和磁的性质，并得出了光也是一种电磁波的结论。这一方程组最初是由麦克斯韦（James Clerk Maxwell）将电磁学中的高斯定律、高斯磁定律、法拉第感应定律、麦克斯韦-安培定律等整合在一起所建立的，然而在麦克斯韦去世的那一年，麦克斯韦方程组并不是现在的这种简洁形式，而是包含了20个方程，看起来也不怎么漂亮，甚至有很多人因此反对麦克斯韦的观点，不愿意接受他的理论。
如今具备简洁美的麦克斯韦方程组，要归功于一个自学成才的英国人奥利弗·亥维赛（Oliver Heaviside，1850年－1925年）。亥维赛小时家境贫寒，还因为患过猩红热造成耳失聪。就是这样一个没有接受过正规高等教育、作风颇为古怪的传奇人物，自己教会了自己掌握当时最深奥的理论：微积分和电磁学。亥维赛善于用直觉进行论述和数学演算，在数学和工程上都做出了许多原创性的成就。但他不太重视严格的数学论证，因而他提出的算子微积分起初遭到了数学家们的反对。亥维赛不在乎别人的反对，独自创立了矢量微积分学，即如今物理学中常用的矢量分析方法。亥维赛利用新发明的矢量微积分符号，在麦克斯韦逝世之后的第六年（1885年），他将麦克斯韦方程组改写成了今天我们所熟知的4个方程的简洁对称形式。1891年，亥维赛成为英国皇家学会会员。1905年，德国哥廷根大学授予亥维赛名誉博士头衔，给予这位自学成才学者的承认和嘉奖。
逻辑之美
科学理论首先要有逻辑性，不然就是一堆实验数据和现象罗列。钱学森曾经说过“科学工作源于形象思维，终于逻辑思维。”也是这个意思。
因此，从事自然科学研究不一定需要多么复杂的头脑，但一定要有清晰的逻辑思维。古希腊的欧几里德几何是逻辑体系最初最好最经典的样板。一个符合逻辑的理论体系，往往是从几个基本的原理出发，用清晰简洁的思路和推论建立起的理论大厦。爱因斯坦当初建立狭义相对论，凭的是两条基本假设：相对性原理和光速不变原理。前者是指物理规律在所有惯性系中都具有相同的形式，后者意味着在所有的惯性系中，真空中光速具有相同的速度c。如果按照牛顿经典物理，这两条基本原理在逻辑上似乎互相矛盾，特别是“光速恒定”不容易理解。
为了解决两个基本假设的相洽性，爱因斯坦告诉我们需要重新思考时间和空间，重新思考所谓的“同时”现象。同时性并不是绝对的，而是相对的，比如在行驶的火车参考系上与在相对于地面静止的参考系上， “同时”的概念是不相同的。爱因斯坦正是从上述两条基本原理出发，突破了牛顿的绝对时空观，发现了时空间的联系，对时间空间以至于质量、能量、动量等，都进行了重新定义。然后经过逻辑推理，得出了洛伦茨变换，质能公式等，从而建立了狭义相对论体系。
之后，爱因斯坦将相对性原理中的惯性参考系推广到非惯性参考系，得到了广义相对论。尽管引力场方程并不是针对当时任何有争异的理论或某种实验观测数据所建立的，但是也有“三大实验验证”。不过这并不是爱因斯坦建立广义相对论的初衷，其实他的目的是要将牛顿万有引力定律与狭义相对论加以“逻辑”推广。广义相对论运用几何语言，统一了引力和时空，这种构建于理念之中的理论，可以说几乎完全是出于爱因斯坦自身对美的追求。
当年的爱因斯坦甚至不太在乎其理论与实验观测结果是否相符合。据说，在爱丁顿的日全食观测验证了广义相对论之后，有某人与爱因斯坦有如下一段有趣的对话：
某：“爱因斯坦博士，观测证实您的理论是正确的！”
爱：“我早知道它是正确的。”
某：“那如果观测结果和你的理论不一致呢？”
爱：“那很遗憾，但我的理论仍然是正确的！”
爱因斯坦凭借对时间、空间、引力等最普通最基本概念的深沉反思，完全理性地建立了广义相对论。令人惊奇与折服的是，这个出于追求逻辑美而形成的理论，迄今为止已经经受住了100多年来实验和天文观测的考验。这说明欣赏和运用数学的逻辑之美，有助于物理、化学、生物、天文、地质等自然学科建立严密的逻辑结构理论，找到各种现象背后的深层规律。
对称之美
对称性作为数学的基本概念不难理解，在自然界也随处可见对称现象，所以我们描述物质世界的科学理论也具有对称性。例如宏观和微观，经典理论与量子理论等也有互相对应的特点。
狄拉克特别重视物理理论之美，可算是追求物理理论之美的第一人。他清心寡欲不染尘，沉迷科研无他求，得了诺贝尔物理奖还不想赴会领取。
二十世纪初期，爱因斯坦建立相对论，解决了物理学晴朗天空中两朵小乌云之一。另外一朵乌云的起因是黑体辐射问题，并由此诞生了量子力学。量子力学牵涉到分子原子物理中的种种问题，引诱了一大批年轻物理学家蜂拥而上，风流才子薛定谔为量子力学建立了薛定谔方程，寡语少言、一整天说不出几个单词的狄拉克则建立了相对论粒子遵循的狄拉克方程。
相对于概念迥异的量子“革命”而言，不仅牛顿力学是经典的，而且具有革命性的相对论也被视为经典物理范畴。一般认为，经典物理处理宏观粒子，量子力学处理微观粒子；经典物理用轨道来描述粒子运动，量子力学则是使用概率意义上的波函数；经典粒子具有能量和动量，而在量子力学中变成了相对应的算符。这些都是量子物理与经典物理在理论概念上的对称。
薛定谔根据经典力学的能量公式：E = p2/2m + V，将能量E、动量p、及势能V，代之以相应的算符，得到了薛定谔方程。然而薛定谔方程没有将狭义相对论包括进去，只能用于非相对论的电子，也就是只适用于电子运动速度远小于光速时的情形。狄拉克使用相对论的能量动量关系：E2 = p2c2 + m2c4，把它代进相应算符，并对算符进行了一个巧妙的“开方”运算，从而构建了狄拉克方程。狄拉克方程的美妙甚至超过了狄拉克的期望，它不仅考虑了相对论效应，还将当时不十分清晰的电子自旋特性自动地包含于方程中。
在狄拉克相对论性电子模型中，负能量解跟正能量解一样有效。这个问题曾使狄拉克困惑。为了解决这个问题，同时也基于“对称美”的考量，最后狄拉克提出了“狄拉克海”的概念，并预言了当时还尚未涉及，似乎有些荒谬的正电子存在。也许上帝正是按照对称性创造宇宙。1932年卡尔·安德森在宇宙射线中发现了正电子，证实了狄拉克的预言。1956年美国物理学家欧文·张伯伦（Owen Chamberlain）在劳伦斯-伯克利国家实验室发现了反质子。从此“反粒子”、“反物质”被重视、被预言、被研究和发现。如今，对称性已成为基本粒子标准模型的重要基础。
不过，反物质很难在自然界中找到，即使有少量存在于放射衰变或宇宙射线之中，也会很快与正物质发生湮灭而稍纵即逝，所以反物质一般只能人为在实验室制造出来。这给科学家们带来了一大难题：为什么在现今可见的宇宙范围中，正反物质如此明显地不对称？是否有反物质为主的另类宇宙存在呢？
宇宙世界是奇妙的，她有对称又有许多 “不对称”！研究“不对称”的科学家至少有7位获得了诺贝尔物理奖，其中就有我们熟知的华人物理学家李政道和杨振宁。他们二人于1956年提出了一个弱相互作用中的“宇称不守恒”定律。此前科学家们都以为宇称是守恒的，就像公众熟知的“镜像对称”一样。实际上，“宇称不守恒”的实验现象在1928年就被观察到，另一位德国物理学家赫尔曼·魏尔（Hermann Weyl，外尔，1885-1955年）在1929年也曾提出了一个二分量中微子理论来解决这个问题，可是该理论会导致左右不对称，破坏了外尔心中的对称之美，最终被他抛弃了。20多年之后，外尔已经去世，李政道和杨振宁重新考虑这个问题，才打破了这个对称性。实验物理学家吴健雄很快证实了上帝果然是个弱左撇子。此外，杨振宁还有一项因研究“对称性”而知名的成果：规范对称场中的杨-米尔斯理论，这使他跻身于当今最伟大物理学家之列。
不对称还有一个曾经困惑物理学家多年的“自发对称破缺”之谜，意思是说自然规律（方程）具有某种对称性，但服从这个规律的现实情形却不具有这种对称性。比如说，一支铅笔竖立在桌子上，它所受的力是四面八方都对称的，它往任何一个方向倒下的几率都应该相同，但是铅笔最终只会倒向一个方向。这就破坏了它原有的旋转对称性，而这种破坏是铅笔自身发生的，所以叫自发对称破缺。
一个物理规律的某种对称性，但它的方程的解不一定要具有这种对称性，一切实验、观测的现实情况都只是“自发对称破缺”后的某种特别情形。奇妙的是：数学中的对称与物理中的守恒定律紧密相关。最早研究这个相关性的是19世纪一位才华洋溢的德国女数学家：艾米·诺特（Emmy Noether ，1882-1935）。她不仅对抽象代数作出重要贡献，也为物理学家们点灯指路，发现了有关对称和守恒的一个美妙的定理，被称为诺特定理。
诺特定理认为，每一个对称性质，都对应物理学中的一个守恒量。比如说，空间平移对称，对应于动量守恒定律；时间平移对称，对应于能量守恒定律；旋转对称，对应于角动量守恒定律，等等。还有所谓电磁场规范变换对称对应于电荷守恒； SU(2)规范变换对应于同位旋守恒；夸克场的SU(3) 变换则对应于“色”荷守恒。在量子力学中，某些离散对称性也对应着守恒量，例如，对应于空间镜像反演的守恒量，便是李政道扬振宁所发现的并不守恒的“宇称”。
完备之美
物理理论不仅追求简洁，也要求完备。总的来说，如果一个“对象”体系（理论、假说或模型）不需要添加任何其它元素，可以达到逻辑自洽，那么我们就说这个对象具有完备性，或称完全性。由于科学不是纯数学，需要实验和观测来验证，因此一个科学理论的完备性可能是相对的，他会随时间变化而变化。
在上世纪60年代中期，物理学家们建立了基本粒子标准模型，将当时物理实验能量能够达到的微观最小层次的物质结构和相互作用，统一于61种基本粒子。虽然理论预言的数种粒子在实验中被陆续发现，但其中的希格斯粒子迟迟未露面。科学家们期待希格斯粒子登场，其目的就是为了证实标准模型的完备性，实现物理理论之美。当2012年欧洲核子中心（CERN）发现标准模型的最后这一个粒子时，科学界欣喜若狂。
然而，标准模型仍然有其不完备之处，因为它与某些实验结果还不相符合，并且它只统一了3种作用力，而将引力抛弃在外。同时，这一套理论或现有物理理论无法解释宇宙学领域传来的有关暗物质、暗能量的信息，人们还在等待着更为完美的下一个“统一理论”。
爱因斯坦是执着追求完备性的物理学家，他将后半生献给了物理学的统一大业，几十年如一日，孤独地寻找着一种更为基本更为完备的理论。针对量子力学理论的诠释，爱因斯坦曾经与波尔展开一场世纪大战。在争论的最后一个回合，爱因斯坦于1935年发表了一篇题为《能认为量子力学对物理实在的描述是完备的吗？》的论文，提出评价物理理论的标准一是正确性，二是完备性。爱因斯坦等提出EPR思想实验（或称EPR佯谬），借助检验两个粒子的量子纠缠行为，企图凸显出定域实在论与量子力学完备性之间的矛盾。
就量子力学是否完备的问题，爱因斯坦和波尔争论的焦点是量子力学中不确定性的本质问题。爱因斯坦认为不确定性的产生是因为理论不完备，忽略了背后隐藏的隐变量；波尔则认为量子力学中的不确定性是微观世界的本质，没有什么隐变量！后来英国物理学家约翰·贝尔1964年提出了一个用实验来验证隐变量是否存在的方案，如今半个世纪过去了，大量的实验结果支持量子力学，而非隐变量理论。尽管实验结果似乎没有站在爱因斯坦一边，不过物理学家们对量子力学的完备性仍然难以达成一致。
联系客服
