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量子理论的诞生和发展(6):海森堡的矩阵力学和他的不确定原理

作者:张天蓉

在量子力学理论中,有一个无人不知无人不晓的不确定原理(测不准原理),它是由1932年的诺贝尔物理奖获得者、德国物理学家维尔纳·海森堡(Werner Heisenberg1901- 1976年)所提出的。他还创建了量子理论的矩阵力学。

海森堡出生在距离柏林大约500公里的另一个德国城市维尔茨堡。他9岁时,全家人搬迁到慕尼黑居住。他在慕尼黑大学攻读物理,拜师于著名物理学家索末菲门下。后来他前往哥廷根大学,在玻恩和希尔伯特的指导下学习物理,1923年获博士学位后,被玻恩以私人出资聘请为哥廷根大学的助教。

尽管海森堡的博士论文是《关于流体流动的稳定和湍流》,但他真正感兴趣的是当时物理界的热门课题:玻尔的原子模型。

1922年初夏,玻尔应邀到德国哥廷根大学讲学。他滞留了10天,作了七次报告,内容就是诠释他的原子理论及其元素周期表。他的连续演讲非常成功,座无虚席,特别是众多年轻的学子们反应强烈,与会时生怕遗漏了大师的某句话某个词。他们把这几次演讲称为是玻尔的节日演出,其盛况犹如举办了一次哥廷根狂欢节!

当时,索末菲和他的两个得意门生——亲如兄弟的海森堡和泡利从慕尼黑赶到哥廷根来听玻尔演讲。海森堡在这里第一次遇到了玻尔,他在玻尔的一次演讲结束之后提了一个颇为尖锐的问题,引起了玻尔的注意。

玻尔当天就邀他一块儿去郊外散步。海森堡受宠若惊,在3小时的散步过程中他与玻尔的交谈受益匪浅,对他后来的研究方向产生了直接的影响。1924-1927年间,海森堡得到洛克菲勒基金会的赞助,他来到哥本哈根理论物理研究所与玻尔一起工作。置身于那种激烈的学术争鸣氛围中,海森堡开始了卓有成效的学术研究。

他在这短短几年游走于三位量子巨匠之间:从索末菲那里学到了物理概念,向玻恩学到了数学技巧,在玻尔研究所修养了他最感兴趣也最看重的哲学思想!但是,要出成果并无定论, “冰冻三尺,非一日之寒,只有时机(知识淀积与机会)成熟,才有瓜熟蒂落

海森堡在思考玻尔和索末菲的原子模型时,因患花粉过敏不得不去赫尔格兰岛休养一段时间。在那没有喧哗的小地方,却激发了海森堡的科学灵感,他构想出了对量子力学的最大突破——即后来被称作矩阵力学的理论。

海森堡研究氢的光谱线实验结果与原子模型的关系,他意识到,实验得到的结果是宏观物理世界中的可观测量,而量子化的原子模型是科学家脑袋中构想出来的东西。可观测还是不可观测,在经典物理中可以说这是个伪命题,因为按照经典理论,人们认为物理量都是可观测的。但在量子论的微观世界,我们还不能从微观上直接观测,只能理论前行。那么,如何来判断理论正确与否呢?

这实际上是玻尔的对应原理企图解决的问题。对应原理是从哲学意义上扩展到物理领域,其实质就是:在一定的极限条件下,量子物理应该趋近于经典物理。微观的不可观测量,与宏观的可观测量之间,应该有一个互相对应的关系。事实上,从普朗克开始,量子物理学家们就一直在潜意识中使用对应原理。

海森堡认为,原子模型中电子的轨道(包括位置x(t)、动量p(t)等)是不可测量的量,而电子辐射形成的光谱(包括频率和强度)则是宏观可测的。他在考虑:能否从光谱的频率和强度这些可测的量倒推出电子位置x(t)及动量p(t)的信息?即是否可以将轨道概念与光谱对应起呢(见图1)?

图6-1左是玻尔轨道模型,右边是宏观可以测量的光谱频率和强度。从图上来看,在轨道概念中,电子绕核作圆周运动,玻尔认为有多种可能的轨道(图左的1n2n3n……)。这没问题,可以将位置x(t)及动量p(t)表示成这些轨道的线性叠加,或者说可以将它们作傅立叶变换。再看可测的光谱频率和强度,光谱产生的原因是原子中电子在两个能级之间的跃迁,能级差决定了光谱的频率,跃迁的概率决定了谱线的强度,即频率和强度是由两个能级(nm)决定的,每两个任意能级间都有可能产生跃迁,但nm是两个独立的变量。

如何将轨道中的量(例如x(t))用两个独立变量nm表示出来,这难住了海森堡:x(t)是一个变量n的函数,为何要用两个变量nm表示?海森堡在花粉过敏症的纠缠中仍然成天思考这个问题。

6-1:原子轨道概念如何与经典观测量对应?

终于,海森堡的脑海中灵光一闪,他想通了这个问题——有什么不好表示的,把它们两者间的关系画成一个表格呀。他概略地规定了一下用表格进行计算的几条原则,剩下就是一些繁杂的运算了。后来海森堡回忆这段心路历程,他写道:大约在晚上三点钟,计算的最终结果摆在我面前。起初我被深深震撼。我非常激动,我无法入睡,所以我离开了屋子,等待着岩石顶上的日出。

计算结果非常好地解释了光谱实验(光谱线的强度和谱线分布),使得电子运动学与发射辐射特征之间具有了关联。但海森堡仍然希望对玻尔模型的轨道有个说法。波尔模型基于电子的不同轨道,谁又能看到电子的轨道呢?也许轨道根本不存在,存在的只是对应于电子各种能量值的状态。轨道只是一种技术处理,客观上应该只有量子态,而量子态之间的跃迁,可以精确地描述实验观察到的光谱。如果你一定要知道电子的位置x(t)及动量p(t),对不起,我只能对你说:它们是一些表格,无穷多个方格子组成的表格。

海森堡结束修养返回哥廷根后,立即将结果寄给他的哥们泡利,并加上几句激动的评论:一切对我来说仍然模糊不清,似乎电子不再在轨道上运动了1925725日,《海德堡物理学报》收到了海森堡的论文,标志着新量子论真正出现了,它距离普朗克量子论的诞生已经过去了25年。

 海森堡投稿论文时,同时也寄了一份给玻恩,希望玻恩阅读并提供建议。玻恩对海森堡论文中提出的计算方法感到十分惊讶,但随后他意识到这种方法与数学家很久以前发明的矩阵计算是完全对应的。海森堡的表格就是矩阵。于是,玻恩与他的学生约尔丹一起用矩阵语言重建了海森堡的结果。再后来,海森堡、玻恩、约尔丹三人又共同发表了一篇论文。

作为量子力学的表达形式,矩阵力学是量子力学的第一种形式。后来薛定谔从波动的角度,用微分思想建立了量子力学的微分方程。他是因为爱因斯坦向他推荐德布罗意物质波理论所受到的启发。

微分方程是物理学家们喜欢的表述形式,牛顿力学、麦克斯韦方程都用它。薛定谔方程描述的波动图像视乎使物理学家们感觉亲切直观、赏心悦目。虽然后来不知如何诠释它而颇感困惑,但物理学家们还是讨厌海森堡的显得枯燥的矩阵。尽管薛定谔等人后来证明了薛定谔方程与矩阵力学在数学上是完全等效的,但名噪至今的是薛定谔方程,大家几乎忘掉了海森堡的矩阵。

海森堡当然有点耿耿于怀。天才终归是天才, 1927年,他又抛出了一个不确定性原理,震惊物理界。

海森堡将原子中电子的位置x(t)及动量p(t)表格即矩阵来描述,但矩阵的乘法不同于一般的两个相乘,不然就是不对易关系。在矩阵中:x(t)×p(t)不等于 p(t)×x(t)或简单地写成:xp  px。这种不相等的特性用它们(xp)之差表示出来,叫做对易关系:

          [x,p]=xp-px=ihbar 

再进一步,对易关系可写成如图6-2a)的不等式形式,称之为不确定性原理。

 

图6-2:海森堡的不确定性原理

根据海森堡不确定性原理,对于一个微观粒子,不可能同时精确地测量出其位置和动量。要实现一个值测量越精确,另一个的测量就会越粗略。如图6-2a,如果位置被测量的精确度是Dx,动量被测量的精确度是Dp的话,两个精确度之乘积将不会小于ħ/2(即:DpDxsħ/2 ħ是约化普朗克常数)。由于精确度越小表明测量越精确,如果Dx等于0(位置测量百分之百准确),但是因为不确定原理,Dp就会变成无穷大。也就是说,测定的动量将在无穷大范围内变化,亦即完全不能被确定。

海森堡用一个直观的例子来解释不确定性原理。在他看来,测量粒子的位置可以借助于光波,只有光波的波长可以与粒子的大小相比较。要想准确地测量粒子的位置,必须使用波长更短、频率更高的光波(图6-2b画出了用两种不同频率的光波测量粒子位置的示意),如果使用波长比较长的光波,几乎探测不到粒子的存在。但是为了精确测量粒子的位置而提高光的频率,也就是增加光子的能量,这个能量将作用在被测量的粒子上,使其动量发生了一个巨大的改变。这将导致不可能同时准确地测量粒子的动量(见图6-2c)。

后来,大多数物理学家对此持有不同的看法,认为不确定性原理是类波系统的内秉性质。微观粒子的不确定原理,是由其波粒二象性决定的,与其测量的具体过程无关。事实上,按照现代数学的观念,位置与动量之间存在的不确定性是因为它们是一对共轭对偶变量。除了位置和动量之外,不确定关系也存在于其他成对的共轭对偶变量之间,比如能量和时间、角动量和角度之间,都存在类似的关系。

 海森堡对量子力学的贡献是毋庸置疑的,但他在二战中曾经是纳粹德国核武器研究的领导人。虽然德国核武研制未成正果,但海森堡当时到底起了何种作用至今仍是一个谜。他是波尔早年看中的年轻人,与波尔有多年的学术合作,亦师亦友,后来因战争蒙上了一层阴影。1941年海森堡曾到哥本哈根访问波尔,据说二人不欢而散。二战结束后,海森堡作为囚犯,被美国军队送到英国,1946年,他回到德国重建了哥廷根大学物理研究所。1955年,该研究所与作为研究所主任的海森堡一起迁往慕尼黑,后来改名为马克斯-普朗克物理学研究所。

       海森堡之后居住在慕尼黑。197621日,他因癌症病逝在家中。

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