数学核心素养的内涵与构成

       在数学课程改革向纵深处发展的过程中,数学核心素养的培养被视为“方向标”。但是，一线教师对数学核心素养是什么，似乎不很明了，这就给课堂教学的转型带来了困惑。因此，研究数学核心素养的内涵与构成，既具有重要的现实意义，又具有深远的历史意义。最近，笔者聆听了一些专家的报告，阅读了相关的文献。下面，结合教学实践，谈几点研究体会。

       一、素养及核心素养的内涵

      进入21世纪以来，世界经合组织(OECD)经过专题研究，对素养和核心素养进行了界定。该研究认为：素养是个体在特定的情境下能成功地应对情境的复杂要求与挑战并能顺利地执行生活任务的内在先决条件；素养是可学、可教和可测的，即是经由后天学习获得的，可以通过人为有意的教育加以规划、设计与培养。在此基础上，该研究进一步提出了个体适应未来社会生活和个人终身发展所必须具备的核心素养，认为核心素养是在不同领域、不同情境中都不可或缺的关键素养，而核心素养研究是一种持续的多学科、多领域协同研究的集成。该研究通过整合，将核心素养归结为三种关键能力：第一种是自觉地运用工具和资源的能力，包括运用语言、符号与文本互动的能力；第二种是在异质社群中进行人际互动的能力，包括建构和谐人际关系、团队合作和管理与解决冲突的能力；第三种是自立自主地行动的能力。

       从20世纪50年代开始，日本一直致力于核心素养的研究，并界定了学科核心素养的三个特性。一是独特性，即体现学科自身的本质特征，也就是学科的固有性，如数学学科中数学思维与数学模型的建构。二是层级化，即学科教学的目标按权重形成如下序列：兴趣、动机、态度；思考力、判断力、表达力；观察技能、实验技能等；知识及其背后的价值观。三是学科群，即人文类学科、数理化生等学科、音体美学科，它们之间承担着相同或相似的学力诉求，如直觉思维与逻辑思维，自然体验与科学体验，动作的、图像的、语言的表达能力等，可以构成各自的学科群。这为STEM（科学、技术、工程和数学）等新兴学科的创生提供了理论依据和发展空间。

      实施新课改以来，我国基础教育倡导，课堂教学要实现“三维目标”，以改变以往过于关注知识与技能目标，而忽视过程与方法、情感与态度、价值观等目标的设计。为了把新课程理念落实到学校教学实践中，2014年3月教育部在相关的文件中提出：“将组织研究提出各学段学生发展核心素养体系，明确学生应具备的适应终身发展和社会发展需要的必备品格和关键能力……并依据总体框架研制不同教育阶段学生核心素养的结构模型，进一步形成可操作、可测量、可评价的指标体系。”针对我国分学科课程体系的现状，目前各学科都在研制相应的学科核心素养，同时加强综合实践活动课程，以推动新课改向纵深处发展。

       二、数学素养及数学核心素养的内涵

      近几年，我国在制定数学课程标准和高考评价分析报告的过程中，一些专家、学者常常提到数学素养和数学核心素养。

       孔凡哲教授认为，数学素养是指当前或未来的生活中为满足个人成为一个会关心、会思考的市民的需要而具备的认识，并理解数学在自然、社会生活中的地位和能力，作出数学判断的能力，以及参与数学活动的能力。

       马云鹏教授认为，数学素养是指人们通过数学的学习建立起来的认识、理解和处理周围事物时所具备的品质，通常是人们与周围环境产生相互作用时所表现出来的思考方式和解决问题的策略。

       王子兴教授的观点是：数学素养乃是数学学科所固有的内蕴特征，是在人的先天生理基础上通过后天严格的数学活动所获得的、融于身心中的一种比较稳定的状态；数学素养涵盖数学思维、数学意识、数学应用意识、创新意识、理解和欣赏数学美学价值等五个方面。

       涂荣豹教授则从测量学的角度对数学素养作出了界定：(1)基本的数学品格（理性、严谨性、逻辑性、实事求是）；(2)分析和认识问题的基本数学视角（函数观、方程观、解析观、极限观、向量观）；(3)一般的思维方法（分析、综合、比较、联想、归纳、类比、抽象、概括等）。并指出：较高的数学素养和数学能力反映在解决数学问题的高水平上，要求具备较强的探索能力、分析能力，即进行实验、观察、归纳、类比、联想、猜测、验证、反驳、抽象、概括的能力。

       王尚志、史宁中等专家依据教育部的研制计划，结合数学学科的特点，对数学核心素养给出了界定：数学核心素养是具有数学基本特征、适应个人终身发展和社会发展需要的必备品格与关键能力，是数学课程目标的集中体现，是在数学学习过程中逐步形成的；数学核心素养包括数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析共六个方面，更一般地还包括学会学习、数学应用、创新意识等；从学习评价的角度看，数学核心素养主要体现在情境与问题、知识与技能、思维与表达、交流与反思的综合运用能力上。

      可见，数学素养是人们能够用数学的眼光来观察世界，发现、提出、分析和解决问题的内在素养，由数学知识与技能、数学思想与方法、数学能力与观念等组成。

       三、数学核心素养的构成

       从构成要素的角度看，数学核心素养的六个方面之间既有联系又有区别，既各有侧重又形成体系。首先体现了独特性，如数学抽象、逻辑推理及数学运算是由数学课程内容本身的特点所决定的，它是培养人类理性思维的载体；其次体现了应用性，如数学建模与数据分析属于数学实践活动，它是以解决某一实际问题或数学问题为目标，从而引起学生数学思维的创新型内容；再次体现了分类性，即与数学模块内容相关，如直观想象以“图形与几何”为载体，数据分析与“统计与概率”领域密切相关，从而分类实现目标。由于以往对逻辑推理、数学运算和直观想象研究得较多，下面只对另外三个方面分别作一些剖析。

       （一）数学抽象

       首先，数学研究的对象决定了其固有的抽象性特点。数学是一门研究度量、形式、图形和变化的学科。一方面，数学研究的对象虽然离不开客观的现实原型，但是又完全可以脱离具体内容，成为理性思维之后的抽象结果；另一方面，数学研究的各种不同的领域可以用公理化的方法统一起来，使得它们具有某种相同的结构。比如，我们从人口统计表、气温变化图、自由落体运动等情境中抽象出函数的概念，并研究了函数的相关性质，以后，几乎高中代数的主体内容都可以从函数的高度加以统一，从而使得各种不同的分支整合成一个整体，有利于形成更高的数学观点和思想，提升学生的数学抽象能力。可见，只要我们在教学中处理得当，学生的数学抽象能力就能在学习中得到培养，并在后续学习中发挥重要的作用。

      其次，数学抽象具有合理性与可操作性。数学抽象的合理性表现为重点抽取对象的数量关系或空间形式，同时还表现为相对的确定性。以立体几何为例，我们从实际问题中抽象出三个公理，并以公共点的个数作为分类标准，分别推出空间两条直线、直线与平面、两个平面的位置关系，得出相应的判定与性质定理，这些结论相互协调、相互呼应、相得益彰，构成了较为系统的知识体系，有利于学生的理解与掌握。由于数学抽象的合理性，我们便可以通过公理化的思想，建立起各种数学符号体系，并借此作为科学思维的智力工具，通过某些可操作的教学行为，使得学生有效地建立起形式化、统一化且具有联系性、整体性的数学知识和思想方法体系，并在解决问题的过程中不断巩固、完善和发展这一体系。这样加以规划、设计和培养数学抽象能力，可以使学生的数学学习形成良性循环。

      再次，数学抽象具有层次性与可接受性。数学抽象的发展具有层次性，抽象的层次越多，概括性就越强，应用也就越广泛，但是随之而来的是，学生接受的困难也大为增加。以函数概念为例，初中的“变量说”是以生活中的一些事例为依托、通过文字叙述来给出的，由于抽象程度相对较低，对于刚由常量学习向变量学习转化的初中生而言具有可接受性。但是，这种非形式化的定义对于函数意义的进一步深化及函数性质的描述具有很大的局限性，因此高中教材采用了抽象程度更高的“映射说”，通过引进函数符号f(x)，使得函数的众多性质可以通过形式化加以定义和证明。诚然，随着年龄的增长，高中生已具备了一定的数学抽象能力，但是，面对由“非形式化”向“形式化”的飞跃，倘若我们在教学中不能处理好两者之间的有机结合，那么学生就会难以理解函数思想，自觉运用函数观点解决问题更是无从谈起。可见，教学的调控对学生形成这一核心素养具有极其重要的作用。

       （二）数学建模

       数学建模的过程是：从实际情境中抽象出数学问题，并提出假设、建立模型、求解模型、讨论验证，必要时修正模型，使之更切合实际。在此过程中，学生要围绕实际问题查阅资料、收集信息、整理加工、分析论证、开展研究，从而改善学习方式，提高创新意识和实践能力。可见，数学建模的教学本身是一个不断探索、不断创新、不断完善和提高的过程。与传统的知识传授教学相比，数学建模教学突出培养学生能力的目标，因此组织教学的方式方法也有所不同，其指导思想是：以学生为中心，以实验为基础，以问题为主线，以微型探究、合作交流、分享成果为主流形式。

       那么，高中的数学建模教学应如何进行呢？首先是做好课程准备。具体包括校本教材、教学计划、教学设备等方面的准备。其次是重视国家课程与校本课程的对接。比如，对于必修5模块，结合“解三角形”中的实际测量问题，“不等式”中的最优化问题以及“数列”中的教育储蓄、分期付款、住房拆建、退耕还林等问题开展应用题教学；在此基础上开设“数学建模”的校本课程，提出更为复杂的实际问题，引导学生主动查阅文献资料和学习新知识，鼓励学生积极开展讨论和合作，主动探索解决的方法，从而使两种课程相互照应、互为补充，逐步走向深入。再次是关注学习的多元评价。数学建模教学的关键是创设实际的问题情境，激发学生的探索欲望，培养学生自主、合作和探究的能力，提高学生的综合素养和创新能力；教学的价值强调的是分析、解决问题的全过程，而不是知识与结果本身，因此，不能把考试的分数作为评价学生的唯一标准，而应把学生参与数学建模的投入度、思考力和贡献度等融进评价指标。

      （三）数据分析

       在当下的互联网时代，人无论在工作还是生活中都受到大量数据信息的影响和冲击——其实，我们已进入了大数据时代——因此，数据处理和分析能力便自然而然地成了当代人的核心素养。数学课程改革顺应了时代变化的需求，首次把“数据分析”列为数学的核心素养之一，并且在高中的必修模块3和选修模块中都增设了数据处理的内容。

       对于必修模块中的概率统计内容，教材的安排是先统计后概率，编写的方式是先从实际情况中提出问题，再进行数据的采集、搜索和整理，在此基础上对数据进行解释，并研究其特征，作出统计判断或概率解释。比如，学习了有限样本数据的平均值和方差，那么，如何计算湖泊深度的平均值和方差呢？这里就涉及布点数目、均匀程度、测量和统计等，同时，由于采样的差异，导致所得数据的不同，又如何作出分析、解释呢？这样就把有限与无限、精确与误差、确定与随机等思想渗透于整个问题的提出、分析、解决和解释之中，对学生数学核心素养的培养大有裨益。可见，教材设计的侧重点在于统计和概率的思想内核，而不是简单的算术运算。

      为了增强应用性和时代感，在教学中我们可以利用信息技术、互联网等途径收集数据，让学生用数学的眼光去关注、分析和解释环保、人口、金融、军事、体育等社会热点问题，从而既提高学生的数据分析能力，又培养学生的数学信息素养，同时激发学生的主人翁意识、数学应用和创新意识。

本文原载于《教育研究与评论》（中学版）