《全国初中数学竞赛》二次函数历届考题.doc

11（2008）、已知一次函数，二次函数，是否存在二次函数，其图象经过点（－5,2），且对于任意实数x的同一个值，这三个函数所对应的函数值，，都有成立？若存在，求出函数的解析式；若不存在，请说明理由。

解：存在满足条件的二次函数。

因为，所以，当自变量x取任意实数时，均成立。

由已知，二次函数的图象经过点（－5,2），得

25　　　①

当时，有，

由于对于自变量取任实数时，均成立，所以有2≤≤2，

故　　　②

由①，②，得，，所以　……5分

当时，有，即

所以，二次函数对于一切实数x，函数值大于或等于零，故

　即　所以

当时，有，即，

所以，二次函数对于一切实数x，函数值大于或等于零，故

即所以

综上，

所以，存在二次函数，在实数范围内，对于x的同一个值，都有成立。　……………15分

11（2009）．函数的图象与轴的两个交点是否都在直线的右侧？若是，请说明理由；若不一定是，请求出两个交点都在直线的右侧时k的取值范围．

解：不一定，例如，当k＝0时，函数的图象与x轴的交点为（0，0）和

（1，0），不都在直线的右侧． ………………5分，则，当

且仅当满足如下条件 ………………10分轴的两交点都在直线的右侧．

由

解之，得 ………………15分时，抛物线与轴的两交点在直线的右侧． ………………20分12（2010）．如图，抛物线（a0）与双曲线相交于点A，B. 已知点A的坐标为（1，4），点B在第三象限内，且△AOB的面积为3（O为坐标原点）.

（1）求实数a，b，k的值；

（2）过抛物线上点A作直线AC∥x轴，交抛物线于另一点C，求所有满足△EOC∽△AOB的点E的坐标.

解：（1）上，

所以k=4. 故双曲线的函数表达式为.

设点B（t，），，AB所在直线的函数表达式为，则有 解得，.

于是，直线AB与y轴的交点坐标为，故

，整理得，解