题目：
如图，在直角坐标系中，Rt△OAB的直角顶点A在x轴上，OA=4，AB=3。动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度，沿AO向终点O移动；同时，动点N从点O出发，以每条1.25个单位长度的速度，沿OB向终点B移动。当两个动点运动了x秒（0＜x＜4）时，解答下列问题：
1、求点N的坐标（用含x的代数式表达）；
2、设△OMN的面积为S，求S与x之间的函数表达式；当x为何值时，S有最大值？最大值是多少？
3、在两个动点运动过程中，是否存在某个时刻，使得△OMN是直角三角形？若存在，求x的值；若不存在，说明理由。
跟着问题找条件
1、N的坐标值可以由哪些线段表示？
N的坐标就是N到坐标轴的长度，作NH垂直于OA，H为垂足。则NH即为N的纵坐标，OH即为N的横坐标。
注意到△ONH∽△OBA，所以ON：OH：NH=OB：OA：AB=5:4:3。而ON=1.25x，从而可得N的坐标（x，0.75x）。
2、△OMN的面积由哪个底与高计算？
一共只有3种情况：
选ON作底边：高是多少？
选MN作底边：MN=？高是多少？
选OM作底边：OM=OA-x=4-x，高是NH=0.75x。
所以，我们自然选择OM作底边，得到S=-0.375x^2+1.5x。这是一个二次函数，在x=2时取得最大值1.5。
验证x是否在取值范围内！
x的取值范围：0＜x＜4，所以x=2时，S取最大值1.5，符合题意。
3、若△OMN是Rt△，哪个角是直角？
我们假设△OMN是Rt△，求出此时x的值，看是否符合题意。但，哪个内角是直角？显然，∠MON不是直角，所以只存在两种情况：
∠ONM=90度
∠OMN=90度
我们依次探讨。
当∠ONM=90度，x=？由Rt△ONM的边长求解。
由于∠MON是Rt△OMN和Rt△OBA的公共角，所以
Rt△OMN∽Rt△OBA，可得
ON：OA=OM：OB。
ON=1.25x，OM=4-x，代入可得x=64/41。
什么情况下Rt△ONM不符合题意？3种情况，符合其一就是不符合题意：
不满足0＜x＜4；
动点N已越出线段OB；
动点M已越出线段AO。
经过验证，x=64/41时得到的Rt△OMN符合题意。事实上，不难证明：只要0＜x＜4，则N和M必然属于线段OB和AO。
当∠OMN=90度。与上述类似，可得x=2时，Rt△OMN符合题意。
解题：
1、作NH垂直与OA，H为垂足。由于N在第一象限，所以OH、NH的长度即为N的横坐标、纵坐标。由于∠OHN=∠OAB，所以△ONH∽△OBA，从而ON：OH：NH=OB：OA：AB。
根据勾股定理，可得OB=5。于是ON：OH：NH=5:4:3。而ON=1.25x，所以OH=x，NH=0.75x，即N坐标（x，0.75x）。
2、由于AM=x，所以OM=4-x，于是S=OM×NH/2=-0.375x^2+1.5x。根据二次函数的性质，x=2时，S有最大值1.5。
当0＜x＜4时，0＜AM＜4，0＜ON＜5，即M在线段AO上，N在线段OB上。所以x=2符合题意。
3、假设∠ONM=90度。由于∠MON是Rt△OMN和Rt△OBA的公共角，所以Rt△OMN∽Rt△OBA。由此可得ON：OA=OM：OB，而ON=1.25x，OM=4-x，代入ON：OA=OM：OB可得x=64/41。注意到0＜64/41＜4，符合题意。
假设∠OMN=90度。由于∠MON是Rt△OMN和Rt△OBA的公共角，所以Rt△OMN∽Rt△OBA。由此可得ON：OM=OB：OA，从而可得x=2。0＜2＜4，符合题意。
由于∠MON为锐角，所以只有上述两种情况。这样，可知在x=64/41或x=2时，△OMN是直角三角形。
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