题目:
抛物线y=x^2+bx+c经过点A(-1,0),B(3,0),与y轴交于点C,顶点为D。
1、求抛物线的解析式,及点D的坐标;
2、连接AC,CD,BD,BC,设△AOC、△BOC和△BCD的面积为S1、S2和S3,用等式表示S1、S2和S3之间的数量关系,并说明理由;
3、点M时线段AB上动点(与A,B不重合),过点M作MN∥BC,与AC交于点N。连接MC。是否存在点M,使得∠AMN=∠ACM?若存在,求解此时M点坐标和直线MN的解析式;若不存在,请说明理由。
分析:
跟着问题找条件
题目1:抛物线解析式包含2个未知数,代入A,B坐标即可求解。计算得解析式为y=x^2-2x-3。对称轴为x=1,顶点D坐标为(1,-4)。
题目2:S1、S2和S3分别如何表达?
如图,不难发现△AOC、△BOC均为直角三角形,且C的坐标易得,为(0,-3),所以S1=OA×OC/2,S2=OB×OC/2。但是,S3如何表达?
S3=?
思路一:挖掘△BCD的性质,或
思路二:用已知图形面积表达S3
两种思路,分别表述如下。
思路一:首先判断△BCD是否特殊三角形
作DE⊥x轴,垂足为E。
∵ D为抛物线顶点
∴ DE即为对称轴,E坐标(1,0)
根据勾股定理,BC^2=18,BD^2=20,CD^2=2,所以△BCD是直角三角形,从而S3=BC×CD/2。分别代入线段长,计算可得S1=1.5,S2=4.5,S3=3,可得3个面积的关系式为S2=S1+S3。
如果△BCD是普通三角形,S3怎么求?
①选定一个顶点,作高,记垂足为H;
②计算对边的斜率,则高所在的直线斜率可得,由此得到高所在直线的解析式;
③求解H的坐标,利用距离公式计算出高的值;
④利用距离公式,计算对边长度。由此S3可得。
思路二:△BCD面积=四边形BOCD面积-△BOC面积
新问题:四边形BOCD面积=?
不难发现,四边形BOCD面积=直角梯形EOCD面积+Rt△BED面积。这2个图形的面积易得,不再赘述。由此,可得S3。
题目3:如果不考虑合理性,是否存在M使得∠AMN=∠ACM?
存在。
∵ MN∥BC
∴ ∠AMN=∠OBC=45度=∠ACM
那么,过点C作与AC夹角为45度的直线,与x轴交点记为M。此时由于∠OCM<45度=∠OCB,所以M必定位于O、B之间。然后,再作MN∥BC,则MN与AC的交点N必然在AC上。这样得到∠AMN=45度=∠ACM,所以M是存在的。
新问题:OM=?画出草图如下
OM放入三角形,通过三角形相似或全等求解
思路一:直接求解OM
OM仅存在于△OMC中,有可能与之相似或全等的已知三角形有△EBD和△OAC,先挖掘△EBD(原因在回顾中详述)。
①因为△OMC和△EBD都是直角三角形,只需一对内角相等,即相似。
②如果MC∥BD,则∠OMC=∠EBD,从而△OMC和△EBD相似;
③如果∠MCB=∠CBD,则MC∥BD。
∵ ∠OBC=45度=∠OCB,∠ACM=∠AMN=OBC
∴ ∠ACM=∠OCB
∴ ∠ACO=∠MCB
∵ tan∠ACO=1/3,tan ∠CBD=1/3
∴ ∠MCB=∠CBD
这样,可得△OMC∽△EBD,于是OM/EB=OC/ED=3/4,计算得OM=3/2。
新问题:直线MN解析式?
由于∠AMN=45度,所以MN与y轴交点坐标为(0,-3/2),从而可得直线MN的解析式为y=x-3/2。
思路二:求解AM或BM
因为AO和OB都是已知定值,所以求解AM或BM也可以。
AM位于△AMN和△ACM中,而∠AMN=∠ACM,∠MAN=∠MAC是公共角,很容易可以得到△AMN∽△ACM。于是AC/AM=AM/AN=CM/MN,其中AM=AO+OM,CM^2=OM^2+OC^2。
但是,AN和MN等于多少?
这里,可以有2种途径求解:
①挖掘与AN或MN相关的三角形:
∵ MN∥BC
∴ △AMN∽△ABC
∴ AM/AB=AN/AC=MN/BC
这样得到两个关于AM、AN或AM、MN的式子,可以解除AM、AN和MN。
②直解求解N的坐标,用M坐标表达,利用距离公式得到MN和AN的表达式。
∵ MN∥BC
∴ 直线MN的表达式可得(含M横坐标)
∵ 直线AC解析式可得
∴ AC与MN的交点N坐标可得(含M横坐标)
这样可以得到AN和MN的表达式,代入AC/AM=AM/AN=CM/MN可得AM。
解题:
1、将A,B坐标代入抛物线解析式,可得
1-b+c=0
9+3b+c=0
于是,b=-2,c=-3,抛物线解析式为y=x^2-2x-3。对称轴为x=1,顶点D坐标为(1,-4)。
2、作CE垂直于x轴,E为交点。显然,DE为抛物线对称轴,E坐标(1,0)。利用抛物线解析式,可得C(0,-3)。所以
S1=OA×OC/2=1.5
S2=OB×OC/2=4.5
梯形OCDE面积=(OC+ED)×OE/2=3.5
三角形EDB面积=EB×ED/2=4
S3=梯形OCDE面积+三角形EDB面积-S2=3
∴ S1+S3=S2
3、这样的点M存在。过点C作与AC夹角为45度的直线(在AC右侧),与x轴交点记为M。
∵ ∠OCB=∠OBC=45度
∴ 易知M位于O、C之间,且与C不重合。
过M作直线MN∥BC,与AC交于点N。
∵ ∠OBC=45度=∠OCB,∠ACM=∠AMN=OBC
∴ ∠ACM=∠OCB
∴ ∠ACO=∠MCB
∵ tan∠ACO=1/3,tan ∠CBD=1/3
∴ ∠MCB=∠CBD
又,∠COM=∠DEB=90度
∴ △OMC∽△EBD
∴ OM/EB=OC/ED=3/4
计算得OM=3/2,M坐标为(0,3/2)。由于∠AMN=45度,所以MN与y轴交点坐标为(0,-3/2),从而可得直线MN的解析式为y=x-3/2。
回顾:
1、手别懒,利用1分钟画出尽量精确的草图。当你面临多个选择时,精确的草图可以帮助你“猜”出正确的选择。比如在本题中,我们首先考虑 △OMC∽△EBD,基本排除了△OCA,就是通过草图目测。
2、当遇到判断“解是否存在”,要善用反证法。先假设解是存在的,然后倒推解存在的条件。倒推的结果有2种:
推出了解存在的条件,符合题目限制。
推出了解存在的条件,不符合题目限制。
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