前言:本卷压轴题最后1个小题,在明天单独发表一篇解析。请谅解,请关注。
题目:
如图,抛物线y=-2x^2/3-4x/3+2与x轴交于B,C两点(点B在点C左侧),与y轴交于点A,抛物线的顶点为D。
2、点P是线段BC上的动点,与B,C不重合。
①过点P作x轴的垂线,交抛物线于点E,若PE=PC,求点E的坐标;
②在①的条件下,点F是坐标轴上的点,且点F到EA和ED的距离相等,请直接写出线段EF的长;
③若点Q是线段AB上的动点,与A,B不重合;点R是线段AC上的动点,与A,C不重合,请直接写出△PQR周长的最小值。
分析:
题目1:
问:这4个点的坐标怎么求?
答:让抛物线解析式符合题设描述,解方程得。
点A:抛物线与y轴交点,其坐标满足x=0,y=-2x^2/3-4x/3+2=2;
点B,C:抛物线与x轴交点,其坐标满足y=0=-2x^2/3-4x/3+2,解得x=-1±2。由于B在C左侧,所以B(-3,0),C(1,0);
点D:抛物线的顶点,其坐标满足x=-1,y=8/3;
题目2①:
问:E的坐标怎么求?
答:用E的坐标表达PE=PC,解方程得。
记P(p,0),由于PE⊥x轴,所以E的横坐标为p;由于E在抛物线上,所以E的纵坐标为-2p^2/3-4p/3+2。于是
PE=|E的纵坐标-P的纵坐标|=|-2p^2/3-4p/3+2|
PC=|C的横坐标-P的纵坐标|=|1-p|
问:如何消去PE、PC表达式的绝对值符号?
答:根据P的位置
题目中,P为线段BC上的点,与B,C不重合。所以P的横坐标小于C的横坐标;又,抛物线开口向下,与x轴交于B,C两点,所以E在x轴上方,即E的纵坐标大于0。所以
PE=-2p^2/3-4p/3+2
PC=1-p
即有-2p^2/3-4p/3+2=1-p,通过整理得到关于p的方程-2p^2/3-p/3+1=0。可得p=-3/2,或p=1(此时P与C重合,舍去)。于是,E的坐标(-3/2,5/2);
题目2②:
问:如何求EF的长度?
答:求F的坐标,通过距离公式求解。
问:如何求F的坐标?
答:用F的坐标表达“F到EA和ED的距离相等”。
问:什么情况下,F到EA和ED的距离相等?
答:F位于EA和ED夹角的平分线上。
所以,需要研究EA和ED的夹角。
画出草图如下,作直线ED和直线EA,ED与y轴交于G,与x轴交于H,作EF1⊥y轴,F1为交点,可以求得F1坐标为(0,5/2)。
先看∠GEA,有
∠GEA=∠GEF1+∠F1EA
求解tan∠GEF1和tan∠F1EA,需要知道G的坐标,从而需要直线EG和EA的解析式(已知两点,求解过程略)。
直线EG:y=x/3+3
直线EA:y=-x/3+2
则G(0,3),H(-9,0)于是
GF1=1/2,F1A=1/2,EF1=3/2
tan∠GEF1=tan∠F1EA=1/3
即∠GEF1=∠F1EA,F1即符合题意对F的要求。
再看∠AEH,有
∠AEH=∠AEP+∠PEH
与上述类似,可以得到
tan∠AEP=tan∠PEH=3
即∠AEP=∠PEH,P即符合题意对F的要求。所以,符合题意的F坐标为(0,5/2)和(-3/2,0),EF为5/2或3/2。
思路二:也可以用F的坐标(f,0)或(0,f)表达F到直线ED和EA的距离。
题目2③:一定要注意,P,Q,R此时都是动点。
具体解析过程明天见
解题:
1、A坐标(0,2),B坐标(-3,0),C坐标(1,0),D坐标(-1,8/3);
2、①记P坐标(p,0)。
∵ PE⊥x轴
∴ E的横坐标为p
∵ E在抛物线上
∴ E的纵坐标为-2p^2/3-4p/3+2
∵ P在线段BC上,且与B,C不重合
∴ -3<p<1
∴ -2p^2/3-4p/3+2>0
∴ PE=-2p^2/3-4p/3+2,PC=1-p
∵ PE=PC
∴ -2p^2/3-4p/3+2=1-p
解得p=-3/2,或p=1。当p=1时,P与C重合,不符合题意,舍去。所以E的坐标(-3/2,5/2);
②EF等于3/2或5/2;
③△PQR周长的最小值为32/√65。
回顾:
1、跟着问题找条件,过程中常常会遇到一些巧合,比如本题中ED与EA夹角的2条平分线恰好分别与y轴和x轴平行。有时候,这些巧合几乎是必须的,比如昨天的福州卷中关于PD×DQ的表达式,恰好可以把一个4次幂代数式转换成2次幂代数式;有时则不是必须的,比如今天的题目,角平分线与坐标轴不平行时,也可以通过直线解析式与坐标轴的交点进行求解,只是相对要复杂了。我们不能忽略这些巧合,因为这可以大大提高解题效率;但是,更不能只顾着找巧合,偏离了正常的思维过程。
2、也可以用F的坐标(f,0)或(0,f)表达F到直线ED和EA的距离:
第1步,求出过F且垂直于ED和EA的直线的解析式(含参数f);
第2步,求出交点坐标(含参数f)
第3步,用距离公式表达F到直线ED和EA的距离(含参数f)
第4步,这两个距离相等,可以得到一个方程(以f为未知数)
第5步,解除f,校验解是否合理。
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