前言:每天只需一道压轴题,小题大做胜过题海战术。
题目:
如图,抛物线L经过A(﹣1,0),B(3,0)两点,且与y轴交于点C,顶点为D,对称轴DE交x轴于点E。连接BD。
1、求经过A,B,C三点的抛物线L的函数表达式;
2、点P是线段BD上一点,当PE=PC时,求点P的坐标;
3、在题目2的条件下,过点P作PF⊥x轴于点F。G为抛物线上动点,M为x轴上动点,N为直线PF上动点,当以F、M、N、G为顶点的四边形是正方形时,请求出点M的坐标。
分析:跟着问题找条件
题目1:
抛物线L解析式中还有两个未知参数,需要建立两个2元1次方程去求解。正好我们有A与B的坐标,代入可解得b=2,c=3。顺手求出C(0,3),D(1,4),E(1,0);
题目2:
问:如何求点P坐标?
答:点P横坐标、纵坐标均未知,需要建立两个方程求解。即将“P是线段BD上一点”以及“PE=PC”翻译为P坐标的表达式。
问:P在线段BD上如何表达?
答:1、P坐标符合直线BD解析式,我们需要求解BD解析式;2、限定P的范围。
记P(p,q)
第一步:求解BD解析式
y=-2x+6(过程略)
第二步:翻译关于P的两个条件
P在线段BD上:q=-2p+6,(D的横坐标)1≤p≤3(B的横坐标)
从而可得p=2,点P(2,2);
题目3:
问:如何求M坐标?
答:将“点F,M,N,G为顶点的四边形是正方形”翻译为M坐标表达式,求解。
问:如何翻译“点F,M,N,G为顶点的四边形是正方形”?
答:有以下4种情形(如图):
问:为什么是这4种情形?
答:因为M在x轴上,N在直线PF上,所以FM与x轴重合,FN与y轴平行。即,无论M,N的具体位置在哪里,总有FM⊥FN。所以正方形的顶点顺序只有2类、4种情形:
第一类:正方形FMGN
情形①:M在F右侧,N在F上方
情形②:M在F右侧,N在F下方
第二类:正方形FNGM
情形③:M在F左侧,N在F下方
情形④:M在F左侧,N在F上方
记M(m,0),N(2,n),G(g,y),y满足L解析式。对上述4种情形,分别翻译如下:
情形①
GN∥MF:G的纵坐标与N的纵坐标相等;
GM∥NF:G的横坐标与M的横坐标相等;
FM=FN:其种FM=M横坐标﹣F横坐标,FN=N纵坐标﹣F纵坐标
即有
情形②
GN∥MF:G的纵坐标与N的纵坐标相等;
GM∥NF:G的横坐标与M的横坐标相等;
FM=FN:其种FM=M横坐标﹣F横坐标,FN=F纵坐标﹣N纵坐标
即有
情形③
GN∥MF:G的纵坐标与N的纵坐标相等;
GM∥NF:G的横坐标与M的横坐标相等;
FM=FN:其种FM=F横坐标﹣M横坐标,FN=F纵坐标﹣N纵坐标
即有
情形④
FM=F横坐标﹣M横坐标,FN=N纵坐标﹣F纵坐标
4种情形结果图示如下
回顾:
应该感谢命题组,在题目3中设定了FM⊥FN。否则,将面临较为复杂的分类与计算。一般情况下:题目仅述由某4个点组成平行四边形、矩形或者正方形时(按照这个顺序讨论由简至繁),我们不能自我设定顶点的顺序(决定了四边形的四条边的组成),必须对每一种排序都进行讨论。其中,按照复杂程度,平行四边形的讨论易于矩形,矩形易于正方形。
之前,给大家分享过的题目解析中几次遇到这种情形,都是讨论平行四边形。如果换做正方形,需要额外增加邻边垂直以及邻边相等的限制。
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