给我印象深刻的一些数学思想（二）：抽屉原理

已经和即将谈到的这些数学思想，有的偏于实操技术层面，有的偏于理论指导层面，大家不用对“思想”这个词是否准确太较真。只要多领悟这些数学思想的本质，多观察这些数学思想的应用，从而在解决问题时随手拈来就够了。

上一期谈到利用一一对应来解决两个或多个集合（比如整数、偶数、自然数等等，都是数字集合）所含元素多寡的比较问题，本身这一思想是很朴素的，即几乎是我们司空见惯，但又被我们忽略的事物、规律的总结。

今天给大家分享的数学思想是“抽屉原理”。我最早接触抽屉原理，是在读高中的时候，现在很多“知识”都前移了，比如微积分挪到高中。抽屉原理估计也会被很多初中学生所熟知，甚至很多小学学生也了解一二。赘述如下：

• 原始版：3个苹果放进2个抽屉，那么至少有2个苹果会在同1个抽屉内。

• 升级版：n个苹果放入n-1个抽屉内，那么至少有2个苹果会在同1个抽屉内。

应用举例，这是一个计算机系的题目，已经通过数学方法逐步解决，目前需要验证这句话“从1~100这100个自然数中选取任意52个（不能重复选），其中必然可以挑出2个，这2个数的和是100。”

这里顺便插一句，数学中最难的问题一般有两个特征：

1. 题干简单，大白话，几乎看不到什么条件限定。看起来不像是数学题目；

2. 结论开放，不告诉你结论，需要自己找到结论，并且证明结论是对的。

比如上述这个问题，你既需要判断话的真伪，还需要验证自己的判断。这里就不展开说了，只对抽屉原理在本题的应用做一个分享。

• 第一步，把1~100分成同样数量的两堆数，1~50为第一堆，51~100为第二堆。可以看到，这2堆数中包含的自然数一样多，都是50个；

• 第二步，任意取52个数，根据抽屉原理，必然、至少有2个数与另外50个数不在同一堆数中（这里说的即上述1~50和51~100两堆数）。比如，如果你取1~52这52个数，那么1~50就是第一堆，而51、52则属于51~100这堆数；

抽屉原理应用简易图示

• 第三步，上面所说那2个数：如果这2个数在1~50中，那么最多只有1个是50，另1个只能是1~49之间的数；如果这2个数在51~100中，那么最多只有1个数是100，另1个数只能是51~99之间的数。大家有没有发现，这是抽屉原理的第二次应用；

第一堆的数字与第二堆的数字配对，只有50和100找不到与之配对的数字

• 第四步，我们这里只展开说明这2个数在1~50时的情况。不难发现：1+99=100，2+98=100，3+97=100，...，48+52=100，49+51=100。即，这2个数中那个不是50的数字，一定能够在51~99中找到与之和为100的数字。这样，就验证了“52个数字中至少有2个数字的和为100”这句话。

这里补充几点说明，再添加几个问题：

1. 关于抽屉原理在本题的应用，大家仔细体会一下；

2. 我们分析的是2个数的情况，如果有3个数与其他数不是同一堆呢？

3. 如果这2个数在51~100呢？