图1
1、如图1，正方形ABCD的边长为4cm，动点P、Q同时从点A出发，以1cm/s的速度分别沿A→B→C和A→D→C的路径向点C运动，设运动时间为x（单位：s），四边形PBDQ的面积为y（单位：cm²），则y与x（0≤x≤8）之间函数关系可以用图象表示为（ ）
解：①0≤x≤4时，
∵正方形的边长为4cm， ∴y=S△ABD﹣S△APQ =1/2×4×4﹣1/2×t×t =1/2t²+8，
②4≤x≤8时，
y=S△BCD﹣S△CPQ
=1/2×4×4﹣1/2（8﹣t）·（8﹣t）=﹣1/2（8﹣t）²+8，
所以，y与x之间的函数关系可以用两段二次函数图象表示.
图2.1
2、如图2.1，AB=BC=CA=AD=3，AH⊥CD于H ，CP⊥BC于点P，AP=3，则BD= ___。
图2.2
解：如图2.2，连接BD与AH交于点Q，
则由AC=AD，AH⊥CD，得∠ACQ=∠ADQ． 又AB=AD，故∠ADQ=∠ABQ．
从而，∠ABQ=∠ACQ．可知A、B、C、Q四点共圆．
∵∠APC=90°+∠PCH=∠BCD，∠CBQ=∠CAQ，
∴△APC∽△BCD． ∴AC·BC=AP·BD．
∴BD= AC·BC/BD=3√2/2
图3.1
图3.2
3、如图3.1，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=2∠BCD=2a，点E在AD上，点F在DC上，且∠BEF=∠A.
（1）∠BEF=_____(用含a的代数式表示)；
（2）当AB=AD时，猜想线段EB、EF的数量关系，并证明你的猜想；
（3）当AB≠AD时，将“点E在AD上”改为“点E在AD的延长线上，且AE＞AB，AB=mDE， AD=nDE”，其他条件不变（如图3.2），求EB/EF 的值（用含m、n的代数式表示）。
（1）解：∵梯形ABCD中，AD∥BC，
∴∠A+∠ABC=180°， ∴∠A=180°-∠ABC=180°-2α，
又∵∠BEF=∠A， ∴∠BEF=∠A=180°-2α；
故答案为：180°-2α；
图3.3
（2）EB=EF．如图3.3
证明：连接BD交EF于点O，连接BF．
∵AD∥BC，
∴∠A=180°-∠ABC=180°-2α，∠ADC=180°-∠C=180°-α．
∵AB=AD， ∴∠ADB=1/2（180°-∠A）=α，
∴∠BDC=∠ADC-∠ADB=180°-2α
由（1）得：∠BEF=180°-2α=∠BDC，
又∵∠EOB=∠DOF， ∴△EOB∽△DOF，
∴ OE/OD=OB/OF， 即OE/ OB= OD/OF，
∵∠EOD=∠BOF，∴△EOD∽△BOF，
∴∠EFB=∠EDO=α， ∴∠EBF=180°-∠BEF-∠EFB=α=∠EFB，
∴EB=EF；
（3）解：延长AB至G，使AG=AE，连接GE，
则∠G=∠AEG=(180°-∠A)/2=(180°-(180°-2α))/2=α，
∵AD∥BC， ∴∠EDF=∠C=α，∠GBC=∠A，∠DEB=∠EBC，
∴∠EDF=∠G， ∵∠BEF=∠A， ∴∠BEF=∠GBC，
∴∠GBC+∠EBC=∠DEB+∠BEF，
即∠EBG=∠FED，∴△DEF∽△GBE，
∴EB/EF=BG/DE，∵AB=mDE，AD=nDE，
∴AG=AE=（n+1）DE，
∴BG=AG-AB=（n+1）DE-mDE=（n+1-m）DE，
∴EB/EF=BG/DE=(n+1=m)DE/DE=n+1=m
图4.1
4、如图4.1，在平面直角坐标系中，已知Rt△AOB的两条直角边OA、OB分别在y轴和x轴上，并且OA、OB的长分别是方程x²－7x＋12=0的两根（OA＜OB），动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O运动；同时，动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A运动，设点P、Q运动的时间为t秒.
（1）求A、B两点的坐标.
（2）求当t为何值时，△APQ与△AOB相似，并直接写出此时点Q的坐标.
（3）当t=2时，在坐标平面内，是否存在点M，使以A、P、Q、M为顶点的四边形是平行 四边形？若存在，请直接写出M点的坐标；若不存在，请说明理由.
解：（1）x2－7 x +12=0
解得x₁=3，x₂=4
∵OA＜OB ∴OA=3 , OB=4
∴A(0,3) , B(4,0)
图4.2
(2) 由题意得，AP=t, AQ=5-2t
可分两种情况讨论： ① 当∠APQ=∠AOB 时，△APQ∽△AOB
如图4.2 t/3 = (5-2t)/5 解得 t= 15/11
所以可得 Q（20/11 ，18/11 ）
图4.3
② 当 ∠AQP=∠AOB 时， △APQ∽△ABO
如图4.3 t/5 = (5-2t)/3 解得： t= 25/13
所以可得 Q（12/13 ，30/13 ）
图4.4
（3）结论：存在．如图4.4所示．
∵t=2，∴AP=2，AQ=1，OP=1．
过Q点作QE⊥y轴于点E，则QE=AQ·sin∠QAP=4/5，AE=AQ·cos∠QAP=3/5，
∴OE=OA-AE= 12/5，∴Q（4/5，12/5 ）．
∵□APQM1，∴QM1⊥x轴，且QM1=AP=2，∴M1（ 4/5，2/5 ）；
∵□APQM2，∴QM2⊥x轴，且QM2=AP=2，∴M2（4/5，22/5 ）；
过M3点作M3F⊥y轴于点F，
∵□AQPM3，∴MP=AQ，∠QAE=∠M3PF，∴∠PM3F=∠AQE；
在△M3PF与△QAE中，∵∠QAE=∠M3PF，M3P=AQ，∠PM3F=∠AQE，
∴△M3PF≌△QAE，
∴M3F=QE= 4/5，PF=AE=3/5，∴OF=OP+PF=8/5，∴M3（-4/5，8/5 ）
∴当t=2时，在坐标平面内，存在点M，使以A、P、Q、M为顶点的四边形是平行四边形
点M的坐标为：M1（ 4/5，2/5 ）、M2（4/5，22/5 ）、M3（-4/5，8/5 ）
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