1、一个面上分别写上：1、2、3、4、某同学把这写字一面朝下，先洗匀随机抽出一，放回洗匀后，再随机抽出一．求抽出两上数字之积小于6概率．（用树状图或列表法求解）
树状图
解:共有16种情况，积小于6的情况有8种， 所以P（小于6）=8/16=1/2
列表法
所以P（小于6）=8/16=1/2。
2、从3名男生和2名女生中随机抽取2014年南京青奧会志愿者．求下列事件的概率：
（1）抽取1名，恰好是女生； （2）抽取2名，恰好是1名男生和1名女生．
解：（1）5名学生中有2名女生，所以抽取1名，恰好是女生的概率为2/5；
树状图
（2）由树形图可得出：共有20种情况，恰好是1名男生和1名女生的情况数有12种，所以概率为5 3 ．
3、小明与甲、乙两人一起玩“手心手背”的游戏．他们约定：如果三人中仅有一人出“手心”或“手背”，则这个人获胜；如果三人都出“手心”或“手背”，则不分胜负，那么在一个回合中，如果小明出“手心"，则他获胜的概率是多少？（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）
树状图
解：画树状图得：共有4种等可能的结果，在一个回合中，如果小明出“手心”，则他获胜的有1种情况，
∴他获胜的概率是：1/4．
4、给出下列命题：
命题1：直线y=x与双曲线y=1/x有一个交点是（1，1）;
命题2：直线y=8x与双曲线y=2/x有一个交点是（1/2，4）;
命题3：直线y=27x与双曲线y=3/x有一个交点是（1/3，9）;
命题4：直线y=64x与双曲线y=4/x有一个交点是（1/4，16）;
……
（1）请你阅读、观察上面命题，猜想出命题n（n为正整数）；
（2）请验证你猜想的命题n是真命题．
解：（1）命题n：直线y=n³x与双曲线y=n/x有一个交点是（1/n，n²）；
2）验证如下： 将（1/n，n²）代入直线y=n³x得：右边=n³×(1/n) =n²，左边=n²，
∴左边=右边，∴点（1/n，n²）在直线y=n³x上，
同理可证：点（1/n，n²）在双曲线 y=n/x上，
∴直线y=n³x与双曲线y=n/x有一个交点是（1/n，n²）．
5、（1）解方程x2﹣2x﹣3=0
（2）解关于x的方程mx²+（m﹣3）x﹣3=0（m为常数，且m≠0）．
（3）已知关于x的函数y=mx²+（m﹣3）x﹣3（m为常数） ①求证：不论m为何值，此函数的图象恒过x轴、y轴上的两个定点（设x轴上的定点为A，y轴上的定点为C）；
解：（1）由x²－2x－3＝0，得（x+1）(x－3)=0，∴x₁=1，x₂=3
（2）由mx²+(m－3)x－3=0得（x+1）(mx－3)=0 ，
∵m≠0，∴x₁=-1，x₂=3 /m
（3）当m=0时，函数y= mx²+(m－3)x－3为y=－3x－3，令y=0，得x=－1；令x=0，则y=－3.
∴直线y=－3x－3过定点A（－1,0）,C（0，－3）
当m≠0时，函数y= mx²+(m－3)x－3为y=（x+1）(mx－3)
∴抛物线y=（x+1）(mx－3)恒过两定点A（－1，0）,C（0，－3）和B（ 3/m ，0）
6、有三张正面分别写有数字—2，—1，1的卡片，它们的背面完全相同，将这三张卡片背面朝上洗匀后随机抽取一张，以其正面的数字作为x的值。放回卡片洗匀，再从三张卡片中随机抽取一张，以其正面的数字作为y的值，两次结果记为（x，y）。
（1）用树状图或列表法表示（x，y）所有可能出现的结果；
（2）求使分式(x²-3xy)/(x²-y²)+y/(x-y)有意义的（x，y）出现的概率；
（3）化简分式(x²-3xy)/(x²-y²)+y/(x-y)；并求使分式的值为整数的（x，y）出现的概率。
树状图
解：（1）树状图如上：
共有（—2，—2），（—2，—1），（—2，1），（—1，—2），（—1，—1），（—1，1）， （1，—2），（1，—1），（1，1）9种可能出现的结果。
（2）要使分式有意义，必须x²-y²≠0，x-y≠0；即x≠±y，
符合条件的有（—2，—1），（—2，1），（—1，—2），（1，—2）四种结果，
∴ 使分式(x²-3xy)/(x²-y²)+y/(x-y)有意义的（x，y）出现的概率为4/9。
（3）(x²-3xy)/(x²-y²)+y/(x-y)=(x²-3xy+xy+y²)/((x+y)(x-y))=(x-y)²/((x+y)(x-y))=(x-y)/(x+y)
能使(x-y)/(x+y)的值为整数的有（—2，1），（1，—2）两种结果，其概率为2/9。
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