1978年,数学家约翰·麦凯(John McKay)注意到了某些奇怪巧合般的现象。当时,他正在研究一类神秘难解的单群,并试图探究其结构的不同表达式——这类散在单群有着所有已知散在单群中最大的阶数,数学家们称它为“魔群”(Monster Group),他相信“魔群”中隐藏着一些新的对称规律。不过,那时的数学家们并不能确定“魔群”是否真实存在,但是他们知道,如果真能找到符合条件的“魔群”,它们一定有着特定的阶数,最小的阶数是1,随后是196883。麦凯当时正在加拿大蒙特利尔的康考迪亚大学,有一天他碰巧看到一篇有关完全不同领域的数学论文,论文中讨论的是数论中的基本对象之一——J函数。麦凯敏锐地注意到J函数的第一个重要系数是196884,他马上想到这是魔群前两位特殊阶数(1和196883)的数量之和。不过对于这个发现,大多数数学家都认为只是偶然现象,毕竟魔群和J函数简直就是风马牛不相及的两个事物。但凡事总有例外——数学家约翰·汤普森(John Thompson)注意到了魔群和J函数之间奇妙的联系,并将这个发现又向前推进了一步。汤普森教授现在正在美国佛罗里达大学,他是1970年菲尔兹奖(Fields Medal)的获得者。汤普森教授发现了J函数的第二个系数:21493760,居然是魔群前三个特殊阶数的数值和:1 + 196883 + 21296876。到了这个地步,人们不禁怀疑,J函数在某种程度上可以“约束”捉摸不定的魔群结构。菲尔兹奖,正式名称为国际杰出数学发现奖(The International Medals for Outstanding Discoveries in Mathematics),每四年评选2~4名有卓越贡献且年龄不超过40岁的数学家,被认为是年轻数学家的最高荣誉,和阿贝尔奖均被称为数学界的诺贝尔奖。很快,另两名数学家又证实了许多类似的数学上的联系,这让数学家们意识到这些现象绝非单纯的巧合。1979年,在一篇名为《魔群月光》(Monstrous Moonshine)的论文里,约翰·康威(John Conway,现为普林斯顿大学数学教授)和西蒙·诺顿(Simon Norton,剑桥大学数学教授)一同推测,这些数学上的相关性,必定来自于魔群与J函数在更深层次上的联系。“他们将这个猜想命名为'月光’,不是因为这个猜想富有浪漫色彩,而是指这个猜想是那么地可望而不可即。”德国马普数学研究所主任唐·扎吉尔(Don Zagier)这么说道,“在当时看来,这个猜想简直就是空谈和妄想,指望有人能证明它不过是一厢情愿罢了。”实际上就连构建魔群本身,花去的时间也远比数学家们所计划的长得多,不过数学家们给自己找到了一个非常好的借口:魔群中包含的元素数目超过了10的53次方,这个数字比地球上所有原子的1000倍还要多。在1992年,也就是密歇根大学的罗伯特·格里斯(Robert Griess)构建出魔群的十周年之际,加州大学伯克利分校数学系教授理查·博赫茲(Richard Borcherds)终于揭开了过去那个遥不可及的“月光”幻想的神秘面纱,并凭此获得了1998年的菲尔兹奖。博赫茲证实,在魔群和J函数这两个完全不同的数学领域之间确实存在着一个连接的桥梁,这个桥梁可能会让你有些惊讶,它的名字是:弦理论。这个与常识相悖的理论告诉我们,宇宙中存在着许多微小的隐藏维度,微小到人们根本无法直接探测到它们;而在这些维度之中存在着“弦”,这些弦的振动能产生我们在宏观尺度下观察到的物理现象。博赫茲教授的发现在纯粹数学(专门研究数学本身,不以应用为目的的学问)领域引发了一场革命,开创了领域中一个全新的分支——广义卡茨-穆迪代数(generalized Kac-Moody algebras)。只不过从弦理论的角度来看,这些发现不过是一潭无关大局的死水罢了。联系着J函数和魔群的24维弦理论模型与弦理论真正的研究热点相距甚远。“虽然我承认从数学的角度来看,发现了两者(J函数和魔群)间的联系纽带或许是令人振奋的,但是对大多数物理学家而言,这个发现就像是弦理论中一个毫不起眼的犄角旮旯。”斯坦福大学的弦理论物理学家沙米特·卡赫鲁(Shamit Kachru)这么告诉我们。然而令人欣喜的是,现今“魔群月光”正在经历一场复兴革命,人们相信它的深处蕴藏着最终能够帮助弦理论研究的启示。在过去的五年内,从类似麦凯的研究起步,数学家们和物理学家们渐渐察觉到,象征着魔群和J函数联系的猜想——“魔群月光”仅仅只是整个故事的开始。2015年,研究者在论文预印本网站arxiv.org上发表了一篇论文,展示了一系列被他们称为“伴影月光猜想”(Umbral moonshine conjecture,构想于2012年)的数学证据。在这篇论文中,研究者提出在“魔群月光猜想”(魔群和J函数之间存在联系)之外,还存在着其他23种不同的“月光猜想”:即在对称群的阶数和一些特殊函数的系数之间,存在着原理未知的奇妙对应(如果你不能理解阶数和系数的关系,看下图)。其实,这些新加入的“月光猜想”中的函数,早就出现在某位数学史上难得一见的天才的一封信里。这封颇有先见之明的信件早已遥遥领先其所处时代,就算再往后推半个世纪,“月光猜想”也还只是数学家们脑海中惊鸿一瞥的念头。以魔群月光为例,上面那个是J函数的展开式,下面这个图等号的左边是魔群的阶数,右边是一系列包含J函数展开的系数的算式。简言之,魔群的阶数可以用一系列J函数系数的运算式来表示,这两者间有关系的猜想被称为“魔群月光猜想”。其他的类似的对称群阶数和函数系数之间的关系被称为其他名字的“月光猜想”。新找到的23种“月光猜想”似乎到处都交织着弦理论中最核心的结构之一——一种被称为“K3曲面”的四维实流形。“该曲面与'伴影月光猜想’的紧密联系暗示着在这些曲面中存在着某些隐藏的对称性。”来自阿姆斯特丹大学和法国国家科学研究中心的数学家、理论物理学家程之宁(Miranda Cheng)这么说道,她与美国凯斯西储大学数学家约翰·邓肯(John Duncan)和芝加哥大学物理学家杰弗里·哈维(Jeffery Harvey)一同最先提出“伴影月光猜想”,“这些发现有着非常重要的意义,我们需要更深入地去理解它们。”她接着补充。流形,是局部具有欧几里得空间(有限维实内积空间)性质的空间,是欧几里得空间中的曲线、曲面等概念的推广。对称性,此处的对称性指数学意义上的对称性,与日常用语中对称性不同。这些新发表的理论证据有力地表明,这23个新发现的月光猜想必定有其对应的弦理论模型,而这些模型将会帮助我们简化“月光猜想”并理解其错综复杂的相关性。可惜的是,现有的证据还并不能真正构建出相关的弦论模型,只是给物理学家们留下了一个撩人的诱惑。“等到我们真正弄懂了'月光猜想’的那天,它就会以物理学的形式呈现在我们面前。”邓肯说。魔群月光任何已知图形的对称性中都暗含一种天然的算术特性。举例来说,假设我们将一个正方形旋转90度后水平翻折,那么我们得到的图形与我们直接沿对角线翻折原图形是一样的——也即是说,“90度旋转+水平翻折=沿对角线翻折”。19世纪,数学家们意识到他们可以将这种类似的算法抽象为“群”(group)的代数概念。单一的抽象群能够表征多种不同形状的图形的对称性,这让数学家们可以见微知著,从一个小点出发理解不同图形的共性。
正方形旋转90度后水平翻折与直接沿对角线翻折效果一致。即90度旋转+水平翻折=沿对角线翻折
在整个20世纪的大多数时间里,数学家们都致力于给所有能找到的“群”分类。而在这个过程中,他们渐渐发现了一些奇怪的现象:尽管大多数简单有限群都符合自然分类,但是有26个“怪胎”却与整体的分类法格格不入,它们被称为散在单群。而在这26个“怪胎”中最大的、也是最晚才被科学家们发现的,就是魔群。有限单群的分类是代数学里的一个巨大的工程。有关的文章大多发表于1955年至2004年之间,目的在于将所有的有限简单群都给清楚地分类。这项工程总计约有100位作者在500篇期刊文章中写下了上万页的文字,详见《环球科学》2015年8月号《拯救宇宙中最宏伟的定理》。要讲述这个“魔群月光”的故事,显然只有魔群并不够——故事还需要第二个主角:J函数。在麦凯偶然发现魔群和J函数间存在联系(约40年前)之前,人们压根儿没想到这两者之间会有什么关系。J函数属于一类特殊的函数(模函数),这类函数的图像有着类似于荷兰知名版画艺术家莫里茨·埃舍尔(M. C. Escher)所画的天使与魔鬼镶嵌图的重复样式:在这种重复样式里,越远离中心图案缩得越小(见下图)。这些'模块化’的函数(即模函数,modular function)在数论研究中可是立下了不少汗马功劳——就比如在1994年数学家安德鲁·怀尔斯(Andrew Wiles)证明费马大定理(Fermat’s Last Theorem)的过程中,模函数就起到了决定性的作用。“任何时候如果有人告诉你数论领域有了新的巨大突破,那么这个结论十有八九是和模函数相关的。” 卡赫鲁这样告诉我们。