一个图形将另一个图形完全覆盖住，在平时的几何研究中的确不多，现实生活中倒是很常见，例如在一张矩形纸片上剪出某个最大面积的形状，那张矩形纸片便可称为某个形状的覆盖。
将上述矩形纸片搬到平面直角坐标系中，并且限定在第一象限，被覆盖的几何图形限定为最为简单的点、线、三角形、多边形、圆，就生成一道颇有趣味的新定义压轴题。
题目
对于平面直角坐标系xOy中第一象限内的点P(x,y)和图形W，给出如下定义：过点P作x轴和y轴的垂线，垂足分别为M，N，若图形W中的任意一点Q(a,b)满足a≤x且b≤y，则称四边形PMON是图形W的一个覆盖，点P为这个覆盖的一个特征点，例：已知A(1,2)，B(3,1)，则点P(5,4)为线段AB的一个覆盖的特征点.
(1)已知点C(2,3)
①在P1(1,3)，P2(3,3)，P3(4,4)中，是△ABC的覆盖特征点的为________________；
②若在一次函数y=mx+5(m≠0)的图象上存在△ABC的覆盖的特征点，求m的取值范围；
(2)以点D(2,4)为圆心，半径为1作图，在抛物线y=ax²-5ax+4(a≠0)上存在圆D的覆盖的特征点，直接写出a的取值范围__________________.
解析：
(1)解读新定义时，给出的例子一定要认真研读，如下图：
图中绿色部分为矩形，图形W指线段AB，可见线段AB被矩形所覆盖，当然这只是初步理解，更进一步，这个绿色的矩形还能有不同的大小吗？最小是多少？仍以上图为例，我们可知点(3,2)向坐标轴作垂线后，围成的矩形也是线段AB的覆盖，并且还是最小的覆盖；
线段AB的两个端点坐标中，横坐标最大为3，纵坐标最大为2，恰好就是特征点(2,3)的横、纵坐标，同时所有横坐标≥3且纵坐标≥2的点，都可能是线段AB的覆盖的特征点，这不是巧合，是规律；
①将三个点作出并观察比较，△ABC三个顶点中，横坐标最大为3，纵坐标最大为3，因此只要横、纵坐标均≥3的点，一定满足条件，因此△ABC的覆盖的特征点是P2和P3；
②根据前面推导，确定△ABC的覆盖坐标值最小的特征点是(3,3)，那么在整个第一象限内，所有满足条件的特征点都在下图的阴影部分中：
再来看直线y=mx+5，这是一条经过定点(0,5)的直线，当m>0时，它始终会经过阴影部分，当m<0时，找到特殊情况，即经过点G(3,3)时，代入求得m=-2/3，所以当m≥-2/3且m≠0时，存在△ABC的覆盖的特征点；
(2)对于圆D来讲，它的覆盖的特征点中，坐标值最小的是(3,5)，因此圆D的覆盖的特征点，横坐标≥3，纵坐标≥5，如下图：
可见当a>0时，抛物线始终经过阴影部分，即存在圆D的覆盖的特征点；
那么当a<0时，抛物线有可能不经过阴影部分，特别地，当抛物线经过点H(3,5)时，代入解析式求得a=-1/6，如下图：
所以，当a≤-1/6或a>0时，抛物线上存在圆D的覆盖的特征点.
解题反思
此题仍然属于难度一般的压轴题，在证明过程中，发现虽然给出的是覆盖图形W，其实仍然是考查函数图象经过某点，给出覆盖定义和特征点描述，重点在后者。
本质上覆盖与否取决于范围，定义中的点P是矩形的一个顶点，由于矩形另两边分别是坐标轴，所以点P决定了矩形能覆盖的范围大小，对于图形W，无论其是否规则，组成它的所有点横纵坐标有最值，这又是一个范围，两个范围间的比较，通常也是最值之间的比较。
第2问中，圆D作为图形W之后，引入含参抛物线，构建函数经过某块区域的情景，本质上仍然是函数经过点的模型，而以上这些均出自于教材，说明在平时教学过程中，需要不断深挖，例题、练习、习题是课本指出的方向，在它们基础上相互融合，生成新的情景和概念，并在新的定义中运用理解概念，能顺利完成的学生，对数学的理解一定非常深刻。
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